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THEOREMES DE GEOMETRIESommaire
Comment démontrer qu’ un triangle est rectangle ? ............................................. 2
Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?........................................ 4
Comment calculer une longueur ? ......................................................................... 6
Comment démontrer que deux angles ont la même mesure ?................................ 9
Comment démontrer qu’un triangle est isocèle ? ................................................ 10
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Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?
• La somme des angles d’un triangle
Théorème : la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Exemple :
Soit un triangle ABC tel que BC = 8 B = 60° C = 30°.
Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Solution :
Calculons l’angle A :
A = 180 – (B + C) = 180° – (60° + 30°) = 180° - 90° = 90°.
A = 90° ce qui prouve que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.
• Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle :
Si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus long côté est l’hypoténuse.
SI
ALORS
BC² est égal à AB² + AC²
ABC est un triangle rectangle en A
Exemple :
Soit un triangle ABC tel que AB = 12 AC = 13 BC = 5.
Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Démonstration :
Le côté le plus long est [AC].
(Attention : ne pas parler d’hypoténuse tant que la démonstration n’est pas terminée)
Calculons séparément AC² et AB² + BC²
AC² = 13² = 169
AB² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
On sait que : AC² est égal à AB² + BC²
On utilise : la réciproque du théorème de Pythagore
On conclut : le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
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• Théorème
Si un triangle est inscrit dans un cercle et si un côté du triangle est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle.
Note : Dire qu’un triangle est inscrit dans un cercle signifie que ses trois sommets