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Theorie de taux

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PRODUITS DE TAUX D’INTERET Modèles de marché ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine- Séance 8

Moez MRAD

Société Générale - R&D

Moez MRAD / SG R&D Fixed Income

18/03/2005

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PLAN

1) Modèle Libor Forward Lognormal (BGM ou LFL)
1.1) Rappels 1.2) Prise en compte du smile.

2) Modèle Swap Forward Lognormal (Jamshidian ou LFS)
2.1) Définition du modèle 2.2) Pricing des swaptions européennes dans le cadre de Jamshidian 2.3) Correction de convexité CMS.

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Introduction : Modèles de Marché
• Le Libor Market Model (ou Libor Forward Lognormal) est un modèle construit de telle façon à coller automatiquement aux prix de caps européens.

• Le Swap Market Model (ou Swap Forward Lognormal) est un modèle construit de telle façon à coller automatiquement aux prix de swaptions européennes.

• Remarques : • Ces deux marchés (ou modèles) sont incompatibles. • D’où la nécessité de faire attention lors du hedge de certains produits exotiques. • On essaie quand même de faire coexister les deux modèles quand on les calibre.

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18/03/2005

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1)

Rappels sur BGM

• La dynamique du taux Libor Lt (Ti , Ti +1 ) est donnée par :

• But : Aboutir d’une manière rigoureuse, une formule fermée pour le prix d’un cap/floor.

dLt (Ti , Ti+1 )  1 + (Ti+1 − Ti )Lt (Ti , Ti+1 )   (Γ(t , Ti ) − Γ(t , Ti+1 ))dwtQ = Lt (Ti , Ti+1 )  (Ti+1 − Ti )Lt (Ti , Ti +1 )    1 + (Ti +1 − Ti )Lt (Ti , Ti+1 )  Γ(t , Ti , Ti +1 )dwtQ = −  (T − T )L (T , T )  i +1 i t i i +1  
Ti +1

Ti +1

• Pour tout i , on pose :
 1 + (Ti +1 − Ti )Lt (Ti , Ti +1 )  σ iL (t ) =   (T − T )L (T , T ) Γ(t , Ti , Ti +1 )  i +1 i t i i +1  

• Dans le cadre BGM, σ iL , i = 0,1,..., N , est supposée déterministe

BGM ⊂ HJM

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Dynamiques de différents taux libor forward
• Soit i∈ - Pour i <

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