E.A. : Théorie de K.A.M.
Philippe Moireau
Novembre-Décembre 2002

Table des matières
1 Rappels de mécanique hamiltonienne, Systèmes intégrables 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Equation d’Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Coordonnées symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Système complètement intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Systèmes complètement intégrables . . . . . . . . . . . 1.2.2 Méthode d’Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Description des systèmes intégrables . . . . . . . . . . 1.2.4 Quantités des systèmes intégrables . . . . . . . . . . . 1.3 Perturbation des systèmes complètement intégrables . . . . . 1.3.1 Théorie des formes normales de Birkhoff près d’un point d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorème de Nash-Moser 2.1 Espaces de Fréchet et bonnes applications . . . . . . . 2.2 Bons espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Le théorème de Nash-Moser : énoncé général . . . . . . 2.4 Le théorème de Nash-Moser dans les espaces de Hölder 2.4.1 Théorie de Littlewood-Paley . . . . . . . . . . . 2.4.2 Quelques estimations douces . . . . . . . . . . . 2.4.3 Preuve du théorème de Nash-Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 4 4 4 4 5 6 6 6 9 9 11 12 13 13 15 16

3 Théorèmes KAM 23 3.1 Rappels de théorie des équations différentielles et des systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Énonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.1 Énoncé d’Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.2 Énoncé complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Étude de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Théorème des formes normales des champs de vecteurs sur Tn 28 3.4.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . .