Cordes vibrantes et tuyaux sonores par Gilbert Gastebois
Cette page étudie la résonance des cordes vibrantes et des tuyaux sonores. La théorie s'appuie sur la vibration des cordes, mais est applicable à la surpression de l'air dans les tuyaux sonores ouverts. Un paragraphe est consacré aux tuyaux fermés.

1. Notations
Longueur de la corde : L
Célérité de l'onde : c
Corde c = (F/µ)1/2 la corde)
Tuyau c = cson = 340 m/s
Fréquence de l'onde : f
Période de l'onde T = 1/f
Longueur d'onde λ = c/f
Pulsation de l'onde : ω = 2πf
Vecteur d'onde : k = 2π/λ

(F

: tension de la corde µ : masse linéique de

2. Célérité de l'onde transversale sur une corde

F tension de la corde
F1 tension de la corde en x
F2 tension de la corde en x + dx µ : masse linéique de la corde

On applique la deuxième loi de Newton à l'élément de masse dm = µ dx µ dx a = F1 + F2 ( le poids de la corde est négligeable devant sa tension )
Sur Ox, il n'y a pas de déplacement de la corde donc F2x = - F1x donc
F1 cos θ1 = F2 cos θ2 θ1 et θ2 sont très petits donc cos θ1 = cos θ2 = 1 et donc F1 = F2
Sur Oy, µ dx ay = F2 sin θ2 - F1 sin θ1 = F (sin θ2 - sin θ1) ay = d²y/dt² θ est très petit donc sin θ = tan θ = dy/dx et donc
F (sin θ2 - sin θ1) = F(dy/dx en x+dx - dy/dxen x) = F d²y/dx² dx donc µ dx d²y/dt² = F d²y/dx² dx d²y/dt² = F/µ d²y/dx²

La solution de cette équation est une onde de célérité c = (F/µ)1/2
3 . Onde stationnaire
La corde est fixée en x = 0, donc l'onde se réfléchit en x = 0. On a ainsi une interférence entre l'onde incidente qui se dirige vers l'origine des x : yi = a sin(ωt + kx) et l'onde réfléchie qui se dirige vers x > 0 : yr = - a sin(ωt - kx)
( le signe - est dû au fait qu'en x = 0, il faut yi + yr = 0 )
La vibration de la corde est donc y = yi + yr = a sin(ωt + kx) - a sin(ωt - kx) = 2 a sin kx cos ωt
C'est une vibration sinusoïdale d'amplitude A = 2 a sin kx
On a un nœud quand A = 0 donc quand kx = n π donc quand x = n λ/2
On obtient une succession de fuseaux de longueur λ/2