Correction BTS CGO Mathématiques 2011
Exercice 1 :
A. Evénements indépendants, probabilités conditionnelles

1°) ܲሺ‫ܧ‬ଵ ሻ = ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬ሻ × ܲሺ‫ܤ‬ሻ car ‫ ܣ‬et ‫ ܤ‬sont indépendants
ࡼሺࡱ૚ ሻ = 0,02 × 0,03 = ૙, ૙૙૙૟

2°) ‫ܧ‬ଶ correspond à : soit le défaut "a" soit le défaut "b" soit les deux défauts donc ‫ܧ‬ଶ = ‫ܤ ∪ ܣ‬
ࡼሺࡱ૛ ሻ = ܲሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬ሻ + ܲሺ‫ܤ‬ሻ − ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = 0,02 + 0,03 − 0,0006 = ૙, ૙૝ૢ૝.
3°) ‫ܧ‬ଷ est le contraire de ‫ܧ‬ଶ donc : ࡼሺࡱ૜ ሻ = 1 − ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ = 1 − 0,0494 = ૙, ૢ૞૙૟.
ത
ത
Autre méthode : ܲሺ‫ܧ‬ଷ ሻ = ܲሺ‫ ܤ ∩ ̅ܣ‬ሻ = ܲሺ‫̅ܣ‬ሻ × ܲሺ‫ܤ‬ሻ = 0,98 × 0,97 = 0,9506
4°) ܲாమ ሺ‫ܧ‬ଵ ሻ =

௉ሺாభ ∩ாమ ሻ
௉ሺாమ ሻ

or ‫ܧ‬ଵ ∩ ‫ܧ‬ଶ = ‫ܧ‬ଵ (car dans "être défectueux et avoir les deux défauts", "être

défectueux" est inutile donc cela est équivalent à "avoir les deux défaut" autrement dit ‫ܧ‬ଶ est inclus dans
‫ܧ‬ଵ ).
ܲሺ‫ܧ‬ଵ ሻ 0,0006
=
≈ ૙, ૙૚૛૚
ࡼࡱ૛ ሺࡱ૚ ሻ =
ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ 0,0494

B. Loi binomiale

1°) On a une série de ݊ = 40 prélèvements indépendants, chacun pouvant déboucher sur deux possibilités : "le sachet est défectueux" (succès) de probabilité ‫ ; 50,0 = ݌‬et "le sachet n'est pas défectueux" (échec) de probabilité ‫.59,0 = ݌ − 1 = ݍ‬
Donc ࢄ suit la loi binomiale de paramètres ࢔ = ૝૙ et ࢖ = ૙, ૙૞.
ଶ
2°) ܲሺܺ = 2ሻ = ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05ଶ × 0,95ଷ଼ ≈ ૙, ૛ૠૠૠ
଴
3°) ܲሺܺ ≥ 1ሻ = 1 − ܲሺܺ = 0ሻ = 1 − ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05଴ × 0,95ସ଴ ≈ ૙, ૡૠ૚૞

C. Loi Normale
1°) Soit ܶ =

௒ିଵଶ଴

, ܶ suit la loi normale centrée réduite ܰሺ0 ; 1ሻ.
ܻ − 120 104 − 120
ܲሺܻ ≥ 104ሻ = ܲ ൬
≥
൰ = ܲሺܶ ≥ −2ሻ = 1 − Πሺ−2ሻ = 1 − ൫1 − Πሺ2ሻ൯
8
8
= Πሺ2ሻ = ૙, ૢૠૠ૛
On a utilisé les formules : ܲሺܶ ≥ ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ et Πሺ−ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ
଼

2°) Calculons d'abord la probabilité que la masse soit dans l'intervalle ሾ104 ; 136ሿ :
104 − 120 ܻ − 120 136 − 120
ܲሺ104 ≤ ܻ ≤ 136ሻ = ܲ ൬
≤
≤
൰ = ܲሺ−2 ≤ ܶ ≤ 2ሻ
8
8
8
= 2Πሺ2ሻ − 1 = 2 × 0,9772 − 1 = 0,9544
On a utilisé la formule : ܲሺ−ܽ ≤ ܶ ≤ ܽሻ = 2 Πሺܽሻ − 1.
La probabilité que le sachet soit rejeté est donc : 1 − 0,9544 = ૙, ૙૝૞૟.

Exercice 2