Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus

Triangles quelconques: théorème du Sinus et du Cosinus
Introduction
Tous les triangles quelconques peuvent être partagés en deux triangles rectangles. Au lieu de faire cette partition on peut gagner du temps en cherchant des formules qui simplifient le calcul dans les triangles quelconques.

D’un triangle quelconque on connaît a, , . Cherche une formule pour calculer b. Essaie d’exprimer la solution sans utilisation de hc .

D’un triangle quelconque on connaît a, , . Cherche une formule pour calculer c .

Essaie de formuler le théorème de Sinus (Sinussatz) en mots.

1

Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus

2

théorème du sinus
On peut formuler le théorème de différentes manières

a

b

c

sin( )

sin( )

sin( )

ou bien a : b : c

ou bien

sin( )

sin( )

sin( )

a

b

c

sin( ) : sin( ) : sin( ) .

Alors

On veut démontrer avec une preuve que

a b a b sin( ) sin( )

sin( ) sin( )

première méthode
Exprimons de différentes façons l’aire d’un triangle quelconque :

Conclusion :

a b sin( ) sin( )

deuxième méthode
1. Partager un triangle quelconque en esquissant hc dans deux triangles rectangles.
Exprimer hc une fois avec l’angle , une fois avec .
2. hc est maintenant exprimée de deux façons différentes et peut ainsi être éliminée.

sin( )

hc b hc

b sin( )

sin( )

hc a hc

a sin( )

Alors

a sin( ) b sin( )

Triangles quelconques: théorème de Sinus et du Cosinus

Essaie de compléter les formules

x y sin( )
....

z

y

.......

........

sin( )
....

....

sin( ) sin( )

......
......

y

Indique la formule pour l’aire du triangle, en connaissant , y, z .
Avec le théorème du Sinus on peut directement calculer une grandeur du triangle. Indique le calcul formel.

s
a) exemple : sin( )

b)

c)
d)

r sin( )

.......
.......

t