Juin 2005 Exercice 1
EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.
Partie A : question de cours
On suppose connus les résultats suivants :
(1) deux suites (Un) et (Vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et Un – Vn tend vers 0 quand n tend vers + ;
(2) si (Un) et (Vn,) sont deux suites adjacentes telles que (Un) est croissante et (Vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N, on a Un Vn ;
(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.
Démontrer alors la proposition suivante :
« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».
Partie B
On considère une suite (Un), définie sur dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite Vn =
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1) Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.
2) Si (Un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par – 1.
3) Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.
4) Si (Un) est divergente, alors (Vn) converge vers zéro.

EXERCICE 2 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle C et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO. La figure est représentée ci-dessus.
Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient