CHAPITRE

7
ACTIVITÉS

Vecteurs.
Colinéarité

(page 167)

Activité 1

Activité 2

2 a) En C3 on obtient 0.

1 b) u(5 ; 0) et v(1 ; 3). r r

Les vecteurs RAB et RCD sont colinéaires.
b) On peut prendre pour coordonnées de D : (5 ; 3) ; (–1 ; 0) ;
(7 ; 4) ; etc.
Chaque fois, les vecteurs EAB et RCD sont colinéaires.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

3 XY’ – X’Y = 0.

2 b) RAD = aru + brv.
1
4
1
4 et b = : RAD = RAB + RAC.
3
3
3
3
3 « RAB et RAC sont des vecteurs non colinéaires. Pour tout point M, il existe un couple unique de nombres (a ; b) tels que YAM = aRAB + bRAC ».
Pour a =

PROBLÈME OUVERT
Dans le repère (A ; ZAJ, ZAI) :
3
J(1 ; 0), I(0 ; 1), B(4 ; 0), D(0 ; 3), C(4 ; 3) et K 4 ; .
2
yI – yJ 1
= = –1,
La droite (LK) a pour coefficient directeur xI – xJ –1 donc (LK) a une équation de la forme y = – x + p.
Or K ∈ (LK) ;
3
11 donc = – 4 + p, soit p = ,
2
2
11
d’où : y = – x + .
2

΂

74

΃

Or L a pour ordonnée 3, donc son abscisse est telle que
11
5
5
3 = –x + soit x = , et L a pour coordonnées
;3 .
2
2
2
1
La droite (IK) a pour équation y = x + 1 et (JL) a pour
8
équation y = 2x – 2.
8 6
L’intersection de ces deux droites est M ;
.
5 5
3
De plus, la droite (AC) a pour équation y = x, et
4
M ∈ (AC).
Donc les trois droites sont concourantes.

΂

΂

΃

΃

Application (page 172)

EXERCICES

1 1. RAB(2 ; 5) et YAM(x + 2 ; 1).
8
« A, M, B alignés » équivaut à 2 – 5(x + 2) = 0 soit x = – .
5
8
18
; 3 ; RBD(6 ; – 5).
2. YCM – – 2 ; 0 – (– 3) soit YCM –
5
5
5
On a EBD = –
YCM, donc les droites (BD) et (CM) sont
3
parallèles.

΂

΃

2

΂

΃

« M ∈ (AB) » équivaut à « EAB et TAM colinéaires ».
15
EAB(2 ; 5) et YAM – 3 ; –
,
2
3
donc YAM = – EAB et M est un point de (AB).
2

΂

΃

3 EAB(4 ; 1) et ECD(4 ; – 3 – y).
« (AB) // (CD) » équivaut à « EAB et ECD colinéaires » soit – 12 – 4y – 4 = 0. Il en résulte que y = – 4.
4