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Géométrie Analytique

Chapitre 15

I – Activités dans un repère cartésien du plan
1 – Rappel

M(x,y)

y

N

y'
1
j

0

1

x

i

x'

Soit ሺܱ, ଓԦ, ଔԦሻ un repère cartésien du plan
ሺଓ,
ሬԦ ଔԦሻ est une base du plan

Le point M du plan est repéré dans le plan par ses coordonnées ‫( ݔ‬abscisse) et ‫( ݕ‬ordonnée) et est noté ‫ܯ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ
ሬሬሬሬሬሬԦ ቀ௫ ቁ ou ܱ‫ܯ‬
ሬሬሬሬሬሬԦ ൌ ‫ݔ‬ଓԦ ൅ ‫ݕ‬ଔԦ
ሬሬሬሬሬሬԦ est repéré dans le plan par ses coordonnées : ܱ‫ܯ‬
Le vecteur ܱ‫ܯ‬
௬
ሬሬሬሬሬሬሬԦ ൌ ቀ ௫ᇲ ି௫ ቁ ou
ሬሬሬሬሬሬሬԦ est repéré dans le plan par ses coordonnées : ‫ܰܯ‬
Le vecteur ‫ܰܯ‬
௬ ି௬
ᇲ

ሬሬሬሬሬሬሬԦ
‫ ܰܯ‬ൌ ሺ ‫ ݔ‬ᇱ െ ‫ݔ‬ሻଓԦ ൅ ሺ‫ ݕ‬ᇱ െ ‫ݕ‬ሻଔԦ

2 – Coordonnées du barycentre

Le plan est muni d’un repère cartésien ሺܱ, ଓԦ, ଔԦሻ

•
•
•

Soient ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ, ‫ܤ‬ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱ ሻ deux points du plan et I leur milieu on a ‫ܫ‬ሺ

௫ା௫ ᇲ ௬ା௬ ᇲ
, ଶ ሻ
ଶ

Soient ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ, ‫ܤ‬ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱ ሻ deux points du plan et ߙ ݁‫ ߚ ݐ‬deux réels tels que ߙ ൅ ߚ ് 0. le barycentre G des points ሺ‫ܣ‬, ; ߙሻ݁‫ ݐ‬ሺ‫ܤ‬, ߚሻ a pour coordonnées ‫ܩ‬ሺ

ఈ௫ାఉ௫ ᇲ ఈ௬ାఉ௬ ᇲ
, ఈାఉ ሻ
ఈାఉ

Soient ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ, ‫ܤ‬ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱ ሻ, ‫ܥ‬ሺ‫ ݔ‬ᇱᇱ , ‫ ݕ‬ᇱᇱ ሻ trois points du plan et ߙ , ߚ ݁‫ ߛ ݐ‬trois réels tels que
ߙ ൅ ߚ ൅ ߛ ് 0. le barycentre G des points ሺ‫ܣ‬, ; ߙሻ, ሺ‫ܤ‬, ߚሻ݁‫ ݐ‬ሺ‫ܥ‬, ߛሻ a pour coordonnées
‫ܩ‬ሺ

ఈ௫ାఉ௫ ᇲ ାఊ௫ᇱᇱ ఈ௬ାఉ௬ ᇲ ାఊ௬ᇱᇱ
, ఈାఉାఊ ሻ
ఈାఉାఊ

yosri_prof@yahoo.fr

/

Tel :23 356 901

1

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Démonstration :

ሬሬሬሬሬԦ ൅ ߚ‫ܤܩ‬
ሬሬሬሬሬԦ ൅
Soit ‫ܩ‬ሺ‫ݔ‬଴ , ‫ݕ‬଴ ሻ le barycentre des points ሺ‫ܣ‬, ; ߙሻ, ሺ‫ܤ‬, ߚሻ݁‫ ݐ‬ሺ‫ܥ‬, ߛሻ alors on a : ߙ‫ܣܩ‬

•

ሬሬሬሬሬԦ ൌ 0
ሬԦ donc ߙ ቀ௫ି௫బ ቁ ൅ ߚ ቀ௫ᇱି௫బ ቁ ൅ ߛ ቀ௫ᇱᇱି௫బ ቁ ൌ ൫଴൯ soit
ߛ‫ܥܩ‬
଴
௬ି௬
௬ᇱି௬
௬ᇱᇱି௬
బ

బ

బ

‫ݔ‬଴ ൌ
ߙ‫ ݔ‬൅ ߚ‫ ݔ‬ᇱ ൅ ߛ‫ ݔ‬ᇱᇱ െ ሺߙ ൅ ߚ ൅ ߛሻ‫ݔ‬଴ ൌ 0
ఈାఉାఊ
on obtient ቐ
൜
ᇲ ାఊ௬ ᇲᇲ d’où
ᇱ
ᇱᇱ
ఈ௬ାఉ௬
ߙ‫ ݕ‬൅ ߚ‫ ݕ‬൅ ߛ‫ ݕ‬െ ሺߙ ൅ ߚ ൅ ߛሻ‫ݕ‬଴ ൌ 0
‫ ݕ‬ൌ
ఈ௫ାఉ௫ ᇲ ାఊ௫ ᇲᇲ

଴

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