Tribu

Pages: 96 (23829 mots) Publié le: 12 janvier 2013
Cours Int¶egration MA62
Fr¶ed¶eric H¶erau
Universit¶e de Reims
mai 2006
Table des matiµeres
Introduction 2
1 Pr¶eliminaires et Rappels 3
1.1 La droite achev¶ee R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Rappels sur les fonctions r¶eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 D¶enombrabilit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6
2 Tribus et applications mesurables 8
2.1 Tribus, espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Structure des fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Mesures et int¶egration 16
3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Int¶egration des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Th¶eorµemes de convergence et fonctions int¶egrables 26
4.1 Th¶eorµemes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Fonctions Int¶egrables et ensembles de mesure nulle . . . . . . . . . . . . . . 31
5 La mesure deLebesgue sur R 36
5.1 Un th¶eorµeme de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 La mesure de Lebesgue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Int¶egrale de Riemann et int¶egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Espaces de fonctions int¶egrables 42
6.1 Les espace Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 42
6.2 Int¶egrales d¶ependant d'un paramµetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Produit d'espaces mesur¶es 53
7.1 Produit d'espaces mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Mesure produit, Th¶eorµeme de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3 Changements de variables et int¶egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Introduction
Ce cours est la version ¶ecrite d'un cours donn¶e partiellement ou en totalit¶e entre 2003
et 2006 µa l'Universit¶e de Reims. Il correspond µa 24H de pr¶esence devant les ¶etudiants.
A l'issue de ce cours, les ¶etudiants doivent avoir acquis quelques automatismes d'utili-
sation de l'Int¶egrale de Lebesgue, en particulier l'utilisation des Th¶eorµemes fondamentaux
suivant :Les Th¶eorµemes de convergence domin¶ee et de convergence monotone,
les Th¶eorµemes de Fubini-Tonelli et de Fubini.
Cet objectif ne doit pas ^etre abandonn¶e sous pr¶etexte de di±cult¶es passagµeres µa com-
prendre le cours. En fait la th¶eorie est di±cile mais l'usage de l'int¶egrale de Lebesgue
(1906) est relativement facile. Pour l'int¶egrale de Riemann par contre, les th¶eorµemes d'ap-plication n¶ecessitent souvent des hypothµeses fortes, par exemple de convergence uniforme.
Int¶egrale de Lebesgue
Th¶eorie di±cile, usage facile Ã!
Int¶egrale de Riemann
Th¶eorie facile, usage d¶elicat
L'utilisation du cours est relativement simple. Les Th¶eorµemes, Propositions, D¶e¯nitions,
et Propri¶et¶es vus au ¯l des chapitres sont µa conna^³tre. Les Remarques, Lemmes (r¶esultatsinterm¶ediaires) ne sont pas µa retenir par coeur. Par manque de temps, la construction de
l'int¶egrale ne sera que partiellement abord¶ee en cours.
Toute remarque sur d'¶eventuelles coquilles ou erreurs est bienvenue. Je tiens µa remer-
cier G. Henriet pour m'avoir fourni une premiµere version dactylographi¶ee de la seconde
partie. Voici ci-dessous une liste quelques documents et livres dont je mesuis servi pour
l'¶elaboration de ce cours. Les documents en ligne sont accessibles par moteur de recherche
(auteur + int¶egration sous google par exemple) :
[1] Bourdarias, C. Int¶egration et Applications, Universit¶e de Savoie, dispo. en ligne, 2000.
[2] Faraut, J. Calcul Int¶egral, Belin, 2000.
[3] Gapaillard, J. Int¶egration pour la Licence, cours et exercices corrig¶es, Dunod, 2002....
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