Trigonométrie

Dans un triangle les angles géométriques sont saillants. Leur mesure varie de 0 à 180°. Pour un cercle les angles au centre rentrants peuvent mesurer jusqu'à 360°.
Les angles orientés ont des mesures réelles, éventuellement négatives ou supérieures à 360°. Au degré on préfère alors le radian.
Le sinus et du cosinus d'un angle orienté se définissent à partir du cercle trigonométrique, centré sur l'origine d'un repère orthonormal, de rayon 1 et parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
1. Quel est l'intérêt d'une mesure d'angle en radian ?
Définition : Le radian est la mesure d'un angle au centre qui découpe sur le cercle un arc dont la longueur est égale au rayon.
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Trigonométrie - illustration 1
Conversion : Le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à 2π r. Donc 2π radians équivalent à 360°. Soit 1 radian = \frac{360°}{2\pi} ou 1 radian \approx 57,30°.
On retiendra : π radians = 180°, ou plus simplement π = 180°.
Mesure d'un arc : La mesure d'un arc est la mesure de l'angle au centre qui intercepte cet arc.
Longueur d'un arc : Un angle de α radians intercepte un arc de longueur l = r × α.
Une mesure en degrés nécessiterait le calcul préalable du périmètre du cercle et aboutirait à une formule plus compliquée : l\,=\,2\pi{r}\,\times\,\frac{\alpha}{360}\,=\,\frac{\pi{r}\alpha}{180}
Exercice n°1
Exercice n°2
2. Qu'est-ce qu'un angle orienté ?
Orientation du plan : Le plan est orienté dans le sens positif lorsque tous les cercles de ce plan sont parcourus dans le sens positif, c'est à dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Cercle trigonométrique : Dans un repère orthonormé, c'est le cercle
- de rayon 1,
- centré sur l'origine,
- parcouru dans le sens positif.
Définition : Si A et M sont deux points d'un cercle trigonométrique de centre O, l'angle formé par les vecteurs \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OM} est l'angle orienté (\overrightarrow{OA}\,;\,\overrightarrow{OM}).
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