1) Définition
Une matrice de taille n×p est un tableau de nombres (réels dans ce chapitre), n étant le nombre de lignes et p de colonnes. On note ai,j l’élément de la ligne i et colonne j de la matrice A. La matrice A peut se noter (ai,j).
Ex :
1 2 4 9 3 5 7 6 8 1 5 2
A
− = − − de taille 3×4. L’élément a2,3 vaut 7.
2) Matrices particulières a) Matrices ligne et matrice colonne Une matrice ligne est une matrice de taille 1×p. Une matrice colonne est une matrice de taille n×1.
Ex : ( ) 4 1 3 est une matrice ligne et 1 3 est une matrice colonne.
b) Matrice carrée Une matrice carrée est une matrice de taille n×n.
Ex : 1 4 5 3 est une matrice carrée 2×2.
c) Matrice diagonale Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf éventuellement les ai,i (qui sont situés sur une diagonale). Autrement dit : ai,j = 0 si i j.
Ex :
1 0 0 0 5 0 0 0 3 − est une matrice diagonale.
d) Matrice unité (ou identité) Une matrice unité est une matrice diagonale qui n’a que des 1 sur la diagonale (ai,i = 1). La matrice unité de taille n×n est parfois notée In.
Ex :
1 0 0 0 1 0 0 0 1 matrice unité de taille 3x3, notée parfois I3.
3) Opérations sur les matrices a) Somme La somme de deux matrices A et B est possible si elles ont la même taille n×p. On ajoute simplement un à un les éléments ai,j et bi,j. La matrice A+B est donc de taille n×p et constituée des éléments ai,j + bi,j.
Ex : 1 5 3 7 9 8 8 14 11 4 2 6 3 5 4 7 7 10 + =
b) Multiplication par un nombre réel Quel que soit k réel et A une matrice, la matrice k×A est la matrice constituée des éléments k×ai,j. Elle est de même taille que A.
Ex : 1 5 3 2 10 6 2 4 2 6 8 4 12 × =
c) Produit Le produit de deux matrices n’est possible que dans des conditions très précises. Si A est de taille n×p et B de taille p×q (autrement dit le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B) on peut alors effectuer le produit A×B. L’élément (i,j) du