Terminale STG 2 010 – 2 011

Programmation linéaire

Problème n° 1

( extrait de baccalauréat STG - Option Mercatique, CFE, GSI - Polynésie - juin 2008) M. François va ouvrir un marché « puces et brocante » sur son terrain. Il y a délimité 120 emplacements. L'installation des exposants commencera à 6 h, le dernier exposant devra avoir fini de s'installer à 8 h. Il prévoit que chaque exposant arrivant : - avec une voiture, paiera 10 euros de redevance et disposera de deux emplacements pour installer son stand ; - avec un fourgon, paiera 16 euros de redevance et disposera de trois emplacements. Il faut en moyenne 1 minute à une voiture pour se garer et 4 minutes à un fourgon. Pour des raisons de sécurité, chaque exposant ne peut commencer à se garer que lorsque le précédent a fini de se garer. M. François souhaite déterminer le nombre de voitures et le nombre de fourgons nécessaires pour que sa recette soit maximale. Partie A On note x le nombre de voitures et y le nombre de fourgons. 1. Ecrire un système d'inéquations correspondant aux contraintes du problème. 2. Déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) suivant avec comme unité graphique : 1 cm pour 5 unités sur les deux axes. On hachurera la partie du plan qui ne convient pas. (S)

{

x≥0 y≥0 2 y≤− x40 3 1 y≤− x30 4

3. Après avoir justifié le lien entre les questions 1. et 2., préciser si M. François peut accueillir : a) 50 voitures et 20 fourgons ? b) 30 voitures et 15 fourgons ? c) 24 voitures et 24 fourgons ? Partie B On note R la recette de la journée. 1. Exprimer R en fonction de x et y.
5 2. Montrer que la droite D d'équation y=− 8 x10 correspond à une recette de 160 euros. 3. a) Représenter la droite D dans le repère précédent. b) Trouver le couple d'entiers (x ; y) qui permet d'obtenir la recette maximale. c) Calculer alors cette recette maximale et répondre au problème posé.

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