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UNIVERSITÉ DE CERGY

Année 2013-2014

U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie & Finance / Licence de Gestion

MATH201 : Probabilités

Chapitre VI : Variables aléatoires à densité

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Généralités

1.1

Introduction

• On considère l’épreuve aléatoire suivante : « on tire un nombre réel quelconque au hasard dans [0, 1] » . On suppose les tirages équiprobables.
√
• Quelle est la probabilité que ce nombre tiré soit égal à 1 ? 0, 65 ? 2 ? 17 ? On note X la
V.A.R. égale au nombre tiré au hasard.
• La probabilité d’obtenir 17 est clairement nulle (car 17 n’appartient pas à [0; 1] !). Supposons que la probabilité d’obtenir chaque réel de [0; 1] soit égale à un réel p > 0 (situation d’équiprobabilité), pourquoi aboutit-on à une contradiction ?

1.2

Intégrale généralisée d’une fonction

Définition 1. • Soit f une fonction définie et continue (par morceaux au moins) sur un intervalle
I = [a, b[ (où b peut être +∞) (Respect. sur un intervalle I =]a, b] où a peut être −∞). On dit x que l’intégrale de f sur I est convergente si la fonction F → F (x) =

f (t)dt (respectivement a b

f (t)dt), où x ∈ I, a une limite finie quand x tend vers b (resp. x tend vers a).

F (x) = x b

• Cette limite est alors appelée intégrale généralisée de f sur I et est notée a ainsi : b x b b f (t)dt = lim f (t)dt et f (t)dt = x→a lim f (t)dt a x→b a xa f (t)dt . On a x

• Si la limite n’existe pas (ou est infinie), on dit que l’intégrale de f sur I est divergente.

L1/S1 - MATH 201 - Probabilités
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

1.2

Intégrale généralisée d’une fonction

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Illustration :

x

Figure 1 – F (x) =

f (t)dt est représentée par l’aire colorée a Lorsque f est définie et continue sur un intervalle ouvert ]a, b[ on dira que l’intégrale b f (t)dt est convergente si pour tout réel c intérieur à ]a, b[ (ou ce qui est équivalent, si pour un a b

c