VECTEURS ET DROITES

En 1837, le mathématicien italien Giusto BELLAVITIS, ci-contre,
(1803 ; 1880) publie des travaux préfigurant la notion de vecteurs qu'il nomme "segments équipollents".
Puis plus tard au XIXe siècle, le mathématicien et physicien allemand Hermann GRASSMANN (1809 ; 1877) pose les bases des opérations sur les segments orientés pour les besoins de la mécanique : addition de forces, de vitesses... Le calcul vectoriel prend alors réellement son essor.

I. Colinéarité de deux vecteurs

Définition :
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction c’est-à-dire qu’il existe un nombre réel k tel que u = kv .

Critère de colinéarité :
x
 x'
Soit u et v deux vecteurs de coordonnées   et   dans un repère (O, i , j ).
 y
 y '
Dire que u et v sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy’ – yx’ = 0.

Démonstration :
- Si l’un des vecteurs est nul alors l’équivalence est évidente.
- Supposons maintenant que les vecteurs u et v soient non nuls.
Dire que les vecteurs u et v sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre réel k tel que u = kv .
Les coordonnées des vecteurs u et v sont donc proportionnelles et le tableau cidessous est un tableau de proportionnalité : x x' y y'
Donc : xy’ = yx’ soit encore xy’ – yx’ = 0.

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr

Réciproquement, si xy’ – yx’ = 0.
Le vecteur v étant non nul, l’une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que x xy ' x’≠ 0. Posons alors k = . L’égalité xy’ – yx’ = 0 s’écrit : y =
= ky ' et donc u = kv . x' x'

Exemple :
5 
 −7 
Vérifier si les vecteurs u   et v   sont colinéaires.
 −4 
5 
5 x 5 – (-4) x (-7) = -3 ≠ 0.
Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.

II. Equations de droite
1) Vecteur directeur d'une droite
Définition :
D est une droite du plan.
On appelle vecteur directeur de D tout