Universit´ e de Fribourg
¨ t Freiburg
Universita

D´ epartement de Math´ ematiques Mathematik Department

Analyse 1

Norbert Hungerb¨ uhler Paul Turner

Fribourg, septembre 2010

Table des mati`eres
1 Nombres r´ eels et complexes
1.1

1

Les axiomes des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Axiomes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Axiomes d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Axiome de compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Les nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Les nombres complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

G´eom´etrie des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Suites et s´ eries de nombres r´ eels ou complexes
2.1

2.2

Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1

Suites r´eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

S´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1

29

Fractions g-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fonctions continues
3.1

3.2

3.3

17

31

D´efinitions et notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.1

Sous–ensembles de IR et de C et fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.1.2

Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .