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6374 mots
26 pages
´ Equations diff´rentielles stochastiques e en dimension finie et infinieVincent B´n´zech, Philippe Bouafia e e
Nous tenons ` remercier chaleureusement Arnaud Basson, qui nous a encadr´ avec a e constance et nous a orient´ vers des r´sultats fascinants sur les ´quations en dimension e e e infinie. En l’absence de pr´cision, on travaillera sur un espace de probabilit´ (Ω, F, P ). e e
Table des mati`res e
1 Introduction 2 L’int´grale d’Itˆ en dimension finie e o 2.1 L’int´grale d’Itˆ pour les fonctions ´l´mentaires . . . . e o ee 2.2 Extension aux fonctions de V(S, T ) . . . . . . . . . . . 2.3 Extension aux fonctions int´grables presque sˆrement e u 2.4 L’int´grale d’Itˆ en dimension quelconque . . . . . . . e o 2 2 3 4 6 6
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3 Formule d’Itˆ o 7 3.1 Processus d’Itˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 o 3.2 Formule d’int´gration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 e 3.3 Formule d’Itˆ en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 o 4 Equations diff´rentielles stochastiques e 11 4.1 Solutions fortes, solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Existence et unicit´ fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 e 4.3 Existence et unicit´ faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 e 5 Calcul stochastique en dimension infinie 5.1 Op´rateurs de Hilbert-Schmidt . . . . . e 5.2 Int´grale stochastique . . . . . . . . . . e 5.3 Formule d’Itˆ . . . . . . . . . . . . . . . o ´ 5.4 Equation de la chaleur stochastique . . . 16 16 17 17 18
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1 INTRODUCTION
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Introduction
Le concept d’´quation