ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires
___________________

MATHEMATIQUES
Option économique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h
___________________

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique B de IR3 est :  2 10 7    A=  1 4 3.    −2 −8 −6 On note I la matrice unité de M 3(IR) et on pose u = (2, 1, –2). 1) a) Montrer que Ker f = vect(u). b) La matrice A est-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteur v de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et tel que f (v) = u. b) Démontrer que le vecteur w de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et qui vérifie f (w) = v est w = (0, 1, –1). c) Montrer que (u, v, w) est une base de IR 3 que l’on notera B’. On note P la matrice de passage de la base B à la base B’. 3) a) Écrire la matrice N de f relativement à la base B’. En déduire la seule valeur propre de f. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? b) Donner la relation liant les matrices A, N, P et P –1, puis en déduire que, pour tout entier k supérieur ou égal à 3, on a : A k = 0. 4) On note CN (respectivement CA) l’ensemble des matrices de M 3(IR) qui commutent avec N (respectivement A). a) Montrer que CN est un sous-espace vectoriel de M 3(IR) et que CN = vect (I, N, N 2). On admet que CA est aussi un sous-espace vectoriel de M 3(IR). b) Établir que : M∈CA ⇔ P –1M P∈CN . En déduire que CA = vect (I, A, A 2). Quelle est la dimension de CA ? 1

Exercice 2
1 1   2(1 − x ) 2 si x ∈[ 0, 2