Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples
Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple

img362.png

La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

Division euclidienne
1img363.png étape: On utilise le
Théorème [et définition: division euclidienne] 
Soient img364.png , img365.png . Alors il existe un unique couple img366.png de img367.png tel que

img368.png et img369.png

On dit que img370.png est le quotient et img17.png le reste de la division euclidienne de img371.png par img372.png .
Ainsi on peut écrire

img373.png

avec img374.png . Le polynôme img375.png s'appelle partie entière de la fraction rationnelle.
Exemple On effectue la division euclidienne comme suit:

img376.png

On a donc

img377.png

Polynômes irreductibles
21__#$!@%!#__img363.png étape: On considère donc dorénavant une fraction rationnelle img378.png telle que 1__#$!@%!#__img374.png . Pour procéder, on pose
Définition Les polynômes irréductibles (sur 1__#$!@%!#__img17.png ) sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle ( img379.png avec img380.png ). 
Un polynôme est unitaire ssi le coefficient du terme de plus haut degré est 1.
On se servira du
Théorème Tout polynôme de 1__#$!@%!#__img367.png se décompose de manière unique en un produit de la forme

img381.png

c'est à dire d'une constante img54.png qui est le coefficient du terme de plus haut degré de img382.png , et de polynômes irréductiblesatom.gif unitaires: img383.png sont les racines (distinctes) de 1__#$!@%!#__img382.png , img384.png leurs multiplicités, et les facteurs de degré 2 sont sans racine