illlx=lsiphioazsjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjkkkkkkkkkkk- kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo- oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo- oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo- oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo- oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo- oooooooooooooooooooooooooooooooo Par exemple 1est le minimum de f : x􏰃−→f (x) = x2 +1 sur R. Il est atteint pour x = 0. Et donc 0,5; 0; −10; −20; −reconnait des minorants de f sur R.
✓De même, il faut bien différencier majorant et maximum de la fonction f sur I ; => Voir le TD n ̊1 et la fiche méthode associée :

Montrer une égalité « pour tout réel x » :
Méthode :
Pour montrer qu’une égalité donnée est vraie, « pour tout réel x » il faut :

•Soit développer (ou factoriser) la partie droite de l’égalité afin d’obtenir la partie gauche ;
Exemple: Montrer que pour tout réel x on a: x3 +3x2 +3x+1=(x+1)3
∀ x ∈ R, (x+1)3 =(x+1)2(x+1) = 􏰄x2 +2x+1􏰅(x+1)
= x3 +x2 ++2x2 +2x+x+1

•Soit développer (ou factoriser) la partie gauche de l’égalité afin d’obtenir la partie droite ;
Exemple : Montrer que pour tout réel x, on a: (x+1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x+1
∀x∈R, (x+1)4 =(x+1)3(x+1) = 􏰄x3 + 3x2 + 3x + 1􏰅(x + 1) d’après l’exemple 1
= x4 +x3 +3x3 +3x2 +3x2 +3x+x+1

•Soit développer (ou factoriser) les parties gauche et droite afin d’obtenir une troisième expression.
Exemple 3 : Montrer que pour tout réel x, on a : 􏰄x2 −x−2􏰅􏰄x2 −x−12􏰅=􏰄x2 −3x−4􏰅(x+3)(x−2)
–D’une part en développant le terme de gauche on a : ∀ x ∈ R, 􏰄x2 −x−2􏰅􏰄x2 −x−12􏰅=x4 −2x3 −13x2 +14x+24
–D’autre part en développant le terme de droite on a : ∀ x ∈ R, 􏰄 x2 −3x−4􏰅(x+3)(x−2)=x4 −2x3 −13x2 +14x+24

Il ne faut JAMAIS partir de l’égalité à démontrer

∀ x ∈ R, (x+1)3 =x3 +3x2 +3x+1
∀ x ∈ R, (x+1)4 =x4 +4x3 +6x2 +4x+1

Pour montrer qu’une