Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pi zzas. On suppose qu’elle vend toute sa production. Les coûts de production sont, d’un e partles coûts fixes (amor- tissement du four, assurances, etc.), d’autre part,les coû ts variables (ingrédients, salaires etc.) qui dépendent du nombre q de lots fabriqués.
On estime que la fonction de coût de cette entreprise est donn ée par la fonction :
C
( q )
=
1
2
q
3
−
2
q
2
+
5
q
+
20 où q est le nombre de lots fabriqués et
C
( q ) est exprimé en dizaines d’euros.
Partie A
Étude du coût marginal
Le coût marginal est le coût de production de la dernière unit é produite. Ce coût margi- nal est assimilé à la dérivée du coût total.
1.
Calculer
C
′
(
q
). Compléter le tableau : q 1
2
3
4
5
6
7
8
C
′
( q )
2.
Représentergraphiquement,dans lemême repère, les foncti ons C et C
′
(oneffectuera des tracés point par point). On prendra comme unités graphiq ues 2 cm pour un lot en abscisse et pour 5 dizaines d’euros en ordonnée.
Partie B
Concurrence parfaite
Dans cette partie,on suppose que l’on est ensituation de con currence parfaite,c’est ŋ à ŋ - dire que le prix de vente est imposé par le marché.
Le prix de vente du lot est calculé à partir du prix de vente uni taire fixé à 7,5 e la pizza.
1.
Calculer le prix de vente d’un lot de pizzas. Quelle est la rec ette R
(
q
) (en dizaines d’euros) pour q lots vendus?
2.
Sur le même graphique que la partie
A
, tracer la droite d’équation y =
30.
3.
«Tant que le coût marginal est inférieur au prix de vente, l’e ntreprise a intérêt à pro- duire.» Expliquer pourquoi.
4.
Le bénéfice produit par la vente de q lots de pizzas est
B
( q )
=
R
(
q
)
−
C
( q ).
Calculer ce bénéfice pour q entier variant de 1 à 8, et en déduire la production qui assure le bénéfice maximum. Que représente cette production sur le graphique pré- cédent? Partie C
Concurrence