Classe : 2nde 9 MATHEMATIQUES Devoir maison 5

A rendre le 28/03/2003

Exercice 1 : Droite d’Euler dans un triangle ABC est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. A’ est le milieu du segment [BC], B’ celui de [CA] et C’ celui de [AB]. A. Caractérisation vectorielle de l’orthocentre → → → → On considère le point H défini par : OH = OA + OB + OC. [1] → → → 1. Justifier que OB + OC = 2OA’. [2]→ → 2. Déduire de la relation [1] que AH = 2OA’. 3. Démontrer alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires. 4. De la même manière, démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC). 5. Que représente le point H pour le triangle ABC ? B. Droite d’Euler G désigne le centre de gravité du triangle ABC. → → → → → 1. En partant de l’égalité GA = -2GA’, démontrer que : 3 OG = OA + 2OA’. → → 2. En déduire que 3 OG = OH. 3. En déduire l’alignement de O, G, H lorsque le triangle ABC n’est pas équilatéral. 4. Que peut-on dire des points O, G et H dans le cas où ABC est un triangle équilatéral ? Exercice 2 : On se place dan un repère (O ; i , j ) du plan. 4 Prenons les points suivants : A(1 ; 0), B(0 ; -2), C(-3 ; -8), D(4 ; 1), E(2 ; - ). 3 a) A, B et C sont-ils alignés ? Justifier la réponse. b) Même question pour C, D et E. c) Démontrer que (AD) et (BE) sont parallèles. Exercice 3 : Soit ABC un triangle quelconque. On place le point P symétrique de A par rapport à B, le point Q symétrique de B par rapport à C et le point R symétrique de C par rapport à A. On appelle I le milieu de [BC] et K le milieu de [PQ]. on appelle G et H les centres de → gravité des triangles ABC et PQR. → On choisit le repère (A ; AB, AC). 1. Déterminer les coordonnées des points A, B et C. 2. Déterminer les coordonnées du point I, puis celles du point G. 3. Déterminer les coordonnées des points R, P, Q et K. 4. Démontrer que les points G et H sont confondus.
→ →

Correction du DM N°5 Caractérisation → Exercice 1 : A – →