DEVOIR MAISON N°3 à rendre à la rentrée des vacances de toussaint
MRCS est un quadrilatère et O le point de concours de ses diagonales. CRM=90°.
1. Construire cette figure en taille réelle.
2. Colorier la zone dans laquelle peut se trouver le point Q vérifiant les conditions suivantes : * Q est à l’intérieur du quadrilatère ; * Q est à plus de 3cm de O ; * Q est plus prés de M que de R ; * Q est plus près de [MR] que de [MS] ; * Q est à plus de 1,5cm de (RM).
Faire apparaître vos constructions et les expliquer.

Exercice n°1 :

Exercice n°2 : Droite d’Euler d’un triangle.
Soit ABC un triangle, A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle. 1. Soit H le point du plan défini par : OH=OA+OB+OC.
a) Placer H sur la figure.
b) Montrer que : OB+OC=2OA'.
c) En déduire AH en fonction de OA'.
d) Montrer que la droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC).
e) Pourquoi a-t-on aussi (BH) perpendiculaire à la droite (AC) ? En déduire la nature du point H pour le triangle ABC.
2. On note G le centre de gravité du triangle ABC.
a) Placer G sur la figure.
b) Montrer que OH=3OG.
c) Dans quel cas a-t-on O = G = H ?
d) Le cas précédent excepté, montrer que les points O, G et H sont alignés sur une droite que l’on appelle la droite d’Euler du triangle.
e) Montrer que le résultat précédent reste valable si le triangle est rectangle.

Exercice n°3 : Soit O;i;j un repère orthonormal du plan. Soit trois points A(1 ;-1), B(-2 ; 0), C(-3 ;3).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ? (Le prouver.)
2. Soit D le symétrique de B par rapport à A. Donner les coordonnées de D.
3. Soit le point E(-4 ; 6). Montrer que les points B, C, E sont alignés, puis montrer que C est le milieu de [BE].
4. Montrer que (AC) et (ED) sont parallèles.

Exercice n°4 : Résoudre dans R le système :