[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 janvier 2015

Enoncés

Dérivation

1

Calcul de dérivées
Exercice 6 [ 01355 ] [correction]
Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes :
1
sin x arctan x
b) x →
c) x →
a) x → 2 x +1
(x + 1)2
(cos x + 2)4

Dérivabilité
Exercice 1 [ 01354 ] [correction]
Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes x2 − x3

a) x →

b) x → (x2 − 1) arccos(x2 )

Exercice 7 [ 00737 ] [correction]
Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions suivantes :

Exercice 2 [ 00736 ] [correction]
Sur quelles parties de R, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ?
a) x → x |x|

b) x →

x
|x| + 1

a) x → xx

b) x → (chx)x

c) x → ln |x|

Exercice 8 [ 00249 ] [correction]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes f1 (x) = arctan (ex ) , f2 (x) = arctan (shx) et f3 (x) = arctan th

Exercice 3 [ 00247 ] [correction]
Sur quelles parties de R, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ?
a) f : x →

x sin(1/x)
0

si x = 0 sinon b) g : x →

x2 sin(1/x) si x = 0
.
0 sinon Qu’en déduire ?

Dérivation d’application réciproque
Exercice 9 [ 01367 ] [correction]
Soit f : [0, π/2] → R définie par

Exercice 4 [ 01359 ] [correction]
Soit f : [0, 1] → R une fonction dérivable.
On définit une fonction g : [0, 1] → R par : g(x) =

f (2x) f (2x − 1)

x
2

f (x) =

√

sin x + x

Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f −1 est continue et dérivable sur cet intervalle. si x ∈ [0, 1/2] sinon Application de la dérivation

A quelle condition(s) la fonction g est-elle dérivable ?
Exercice 10 [ 01356 ] [correction]
Pour λ ∈ R, on considère les fonctions
Exercice 5 [ 01360 ] [correction]
Soit f : I → C une fonction dérivable.
Montrer que |f | : I → R est dérivable en tout point où f ne s’annule pas et exprimer sa dérivée.

fλ : x →

x+λ x2 + 1

a) Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions fλ sont parallèles.
b) Observer