fiche n° 10

POLYNOMES
On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique
(a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n .

fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor

∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K

P( X ) = ∑

P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout polynôme non constant admet au moins une racine dans C . Conséquence 1 : Un polynôme de degré n a au plus n racines distinctes. Conséquence 2 : Un polynôme P ∈ K n [ X ] qui s’annule au moins n + 1

a0 , …, an sont les coefficients de P et an son coefficient dominant. K [ X ] est l’ensemble des polynômes à coefficients dans K. Degré d’un polynôme Si P est non nul, n est unique et s’appelle le degré de P. Par convention, le polynôme nul a pour degré − ∞ . d °( P + Q) ≤ Max (d ° P, d °Q) d °( PQ ) = d °P + d °Q d °( P o Q) = d ° P × d °Q d ° P ' = d °P − 1 si P ' ≠ 0 K n [ X ] est l’ensemble des polynômes P ∈ K [ X ] tels que d ° P ≤ n . Egalité de deux polynômes Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients. Division euclidienne Si A et B appartiennent à K [ X ] et B ≠ 0 , il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K [ X ] tels que A = BQ + R et d ° R < d ° B . Si R = 0 , A est divisible par B ou multiple de B, et B est diviseur de A. Racines d’un polynôme Un élément α ∈ K est racine du polynôme P si P(α) = 0 . α est racine de P si et seulement si P est divisible par ( X − α) . Ordre de multiplicité d’une racine

fois est le polynôme nul. Polynômes irréductibles Un polynôme A non constant est irréductible dans K [ X ] s’il n’admet pas de diviseur B dans K [ X ] tel que 1 ≤ d ° B < d ° A . Dans C[ X ] , les seuls polynômes irréductibles sont de degré 1. Dans R[ X ] , les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes