L’optimisation discrète
Introduction à l’optimisation discrète
Le problème du flot maximum
Adam Ouorou
France Télécom Division R&D
ENSTA - Mars 2006
Introduction à l’optimisation discrète
Le problème du flot maximum
Plan
1
Le problème du flot maximum Formulation et propriétés Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme d’Edmonds et Karp Applications
Introduction à l’optimisation discrète
Le problème du flot maximum
Formulation et propriétés Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme d’Edmonds et Karp Applications
Définitions
Soit G = (V , A) un graphe orienté. Pour tout sommet v ∈ V , on note
δ + (v ) l’ensemble des arcs sortant en v , δ − (v ) l’ensemble des arcs entrant en v .
Nous considérons deux nœuds spéciaux : un nœud source s et un nœud puits t. Une fonction f : A → R est appelée un s − t flot si : 1 f (a) ≥ 0 quel que soit a ∈ A, 2 f (a) = f (a) quel que soit v ∈ V \ {s, t}. a∈δ + (v ) a∈δ − (v )
Introduction à l’optimisation discrète Formulation et propriétés Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme d’Edmonds et Karp Applications
Le problème du flot maximum
Définitions
La condition 2 est appelée Loi de conservation de flot : pour tout nœud v = s, t, le flot entrant en v égale le flot sortant en v . La quantité f0 = a∈δ + (s)
f (a) − a∈δ − (s)
f (a)
est appelée la valeur du s − t flot f . Elle est aussi égale à a∈δ − (t)
f (a) − a∈δ + (t)
f (a).
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Le problème du flot maximum
Formulation et propriétés Algorithme de Ford et Fulkerson Algorithme d’Edmonds et Karp Applications
Formulation
Soit une fonction c : A → R+ qui associe à chaque arc a ∈ A une capacité c(a). Le flot f est compatible avec c si f (a) ≤ c(a) pour tout arc a ∈ A. c(a) indique la limite supérieure du flot admissible sur l’arc a. Le problème du flot maximum se formule comme suit
Etant donnés un graphe G = (V , A), s, t ∈ V et une fonction capacité c : A → R+ , trouver un s − t