Théorème de Taylor
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En analyse, le théorème de Taylor appelé aussi la formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 17151, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
De manière plus précise, soit : * I un intervalle de ℝ et a un élément de I, * E un espace vectoriel normé, * f une fonction de I dans E qui soit dérivable en a jusqu’à l’ordre n (un entier naturel).
Alors, pour tout x dans I, l’expression

ou son équivalent

définit un reste Rn(x) dont le comportement s’apparente au monôme (x – a)n + 1.
En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série2, mais il se préoccupe peu de la nature du reste ; il faut attendre ses successeurs pour la caractériser rigoureusement.
On désigne par théorème de Taylor ou formule de Taylor plusieurs résultats et expressions pour découlant du cadre ci-dessus, parfois renforcé par quelques hypothèses supplémentaires.

La fonction exponentielle (en rouge) et le polynôme de Taylor d'ordre 4 au point 0 (en bleu) Sommaire * 1 Expressions et estimations du reste * 1.1 Formule de Taylor-Young * 1.2 Formule de Taylor-Lagrange * 1.3 Inégalité de Taylor-Lagrange * 1.4 Formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral) * 1.5 Remarques * 1.6 Preuves * 2 Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables * 3 Notes et références * 3.1 Notes * 3.2 Sources * 4 Voir aussi |
Expressions et estimations du reste
Formule de Taylor-Young
Si la fonction f (à valeurs réelles ou complexes ou même dans un espace normé) est dérivable en a jusqu’à l’ordre n, la fonction est négligeable devant .
.
Formulation équivalente :
.
Formule de Taylor-Lagrange
Si la fonction f est à valeurs réelles et