Commençons, même si cela n'est directement demandé, par traduire dans le langage des probabilités l'énoncé. • "la probabilité que l' alarme se déclenche par erreur, sans incident = 1/50" signifie que P( A [pic][pic]) = 1/50 = 0,02. • "la probabilité qu'il y ait un incident sans que l'alarme se déclenche = 1/500" signifie que P( [pic][pic]I ) = 1/500 = 0,002. • "la probabilité qu'il se produise un incident = 1/100" signifie que P( I ) = 1/100 = 0,01.
A)
1: On veut la probabilité de l'événement (A [pic]I ) . Or, comme A et [pic]forment une partition de l'univers, on a: P( I ) = P( [pic][pic]I ) + P(A [pic]I ) . D'où 0,01 = 0,002 + P( A [pic]I ) et P( A [pic]I ) = 0,008.

2: Le système d'alarme est mis en défaut dans deux cas: si il se déclenche sans incident, ou s'il ne se déclenche pas alors qu'il y a un incident.
Ceci correspond aux événements : ( A [pic][pic]) ou ([pic] [pic]I ).
D'où, comme ces deux événements sont incompatibles , on a:
Donc, la probabilité que le système alarme soit mis en défaut est: P( A [pic][pic]) + P([pic] [pic]I ) = 0,02 + 0,002 = 0,022.

3: On veut la probabilité de l'événement conditionnel " I sachant A"
Or , P( "I sachant A" ) = P(A [pic]I ) / P(A) .
De plus, P(A) = P(A [pic]I ) + P(A [pic][pic]) = 0,008 + 0,02 = 0,028
D'où P("I sachant A") = 0,008 / 0,028 = 2 /