Sur l’algorithme RSA

Le RSA a ´t´ invent´ par Rivest, Shamir et Adleman en 1978. C’est l’exemple ee e le plus courant de cryptographie asym´trique, toujours consid´r´ comme sˆr, e ee u avec la technologie actuelle, pour des cl´s suffisament grosses (1024, 2048 voire e 4096 bits). D’ailleurs le RSA128 (algorithme avec des cl´s de 128 bits), propos´ e e en 1978 par Rivest, Shamir et Adleman, n’a ´t´ “cass´” qu’en 1996, en faisant ee e travailler en parall`le de nombreux ordinateurs sur internet. e Mais le concept de chiffrement asym´trique avec une clef publique ´tait e e l´g`rement ant´rieur (1976). L’id´e g´n´rale ´tait de trouver deux fonctions f e e e e e e e et g sur les entiers, telles que f ◦ g = Id, et telle que l’on ne puisse pas trouver f , la fonction de d´cryptage, ` partir de g, la fonction de cryptage. L’on peut alors e a rendre publique la fonction g (ou clef), qui permettra aux autres de crypter le message ` envoyer, tout en ´tant les seuls ` connaˆ a e a ıtre f , donc ` pouvoir a d´crypter. On trouvera un expos´ complet sur RSA dans [3]. e e

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Pr´liminaires d’arithm´tique e e

D´finition On appelle indicatrice d’Euler la fonction qui ` un entier n fait e a correspondre le nombre d’entiers a premiers ` n v´rifiant 1 ≤ a ≤ n. On note a e cette fonction ϕ. Si p est un nombre premier, alors tout entier compris entre 1 et p − 1 est premier ` p, aussi ϕ (p) = p − 1. On peut ´galement calculer assez facilement a e ϕ (pn ), toujours pour p premier et n ≥ 2 entier : les nombres premiers ` pn sont a exactement les nombres non multiples de p. Or entre 1 et pn , il y a exactement pn−1 multiples de p. Donc ϕ (pn ) = pn − pn−1 = pn−1 (p − 1). Enfin, on va calculer la valeur de ϕ en un produit de deux nombres premiers distincts. Ceci nous servira en effet dans l’algorithme RSA. Lemme 1.1 Soient p et q deux nombres premiers distincts. Alors ϕ (pq) = (p − 1) . (q − 1) D´monstration Pour calculer ϕ (pq), il nous suffit de calculer le nombre d’ene tiers compris entre