Physique PROBLEME

ONDES MECANIQUES

- PROBLEME SUR LES ONDES MECANIQUES 1 -

l

ENONCE :

« Chaîne linéaire d’atomes, avec impureté »

On considère une chaîne linéaire illimitée d’atomes identiques de masse m. A l’équilibre, ils sont séparés par une distance a, et l’atome n se trouve à une abscisse
0 xn .

Lorsqu’une perturbation longitudinale modifie suivant l’axe Ox la position de l’atome n d’une quantité un (t ) = a , celui-ci est alors soumis à des interactions complexes, modélisées par des forces de rappel de raideur 1) également

α , limitées entre atomes premiers voisins.

Ecrire l’équation différentielle vérifiée par

un (t ) , équation dans laquelle figureront

un−1 () et un+1 (t ) . t

ω et de r r vecteur d’onde k = kex , avec k ∈ ¡ , qui peuvent se propager sans atténuation le long de la chaîne
2) On veut montrer qu’il existe des ondes élastiques longitudinales de pulsation et qui, en notation complexe, ont la forme : Trouver la relation que ω (ka ) . 3) On note
0 u n (t ) = A exp[ i (kxn − ωt )]

graphe

ω et k

A = cste ∈ ¡

doivent satisfaire (relation de dispersion), et dessiner le

ω M la pulsation maximale des ondes qui peuvent se propager dans la chaîne : à quelle longueur d’onde λmin correspond cette pulsation maximale ? Pour cette même pulsation, comment les atomes oscillent-ils les uns par rapport aux autres ? Que se passerait-il si l’on essayait de propager une perturbation de pulsation supérieure à ω M ? 4) Pour préciser les phénomènes découverts dans la question précédente, calculer les vitesses de phase vϕ et de groupe vg ; en donner les limites lorsque ka → 0 et ka → π . Faire le lien avec la question précédente.

un (t ) peuvent être représentées par une fonction quasi-continue u (x, t ) , où la variable quasi-continue x représente l’emplacement d’un atome au repos. A partir d’un développement de Taylor au second ordre, déterminer l’équation différentielle satisfaite par u (x, t ) , et en déduire,