R duction d endomorphisme
1003 mots
5 pages
I. Sous espace vectoriel stable – Polynôme d’endomorphisme1. Sous espace vectoriel stable (SEV)
Définition : sous espace vectoriel de . On dit que est stable par si .
Conséquence : Si et stable par . On définit l’induit de sur :
Exemples fondamentaux et sont stables par :
,
,
, alors stable par
, Montrons que : Donc
, et base de :
stable par car :
Proposition :
Soit un SEV de E. Si et . Soit base de . Soit base de (TBI). Alors s’appelle une base de adaptée à . Soit , posons :
Où : , , , stable par
Corollaire : Dans ce cas
Proposition : et . sont stables par Il existe une base B adaptée aux :
Elle est diagonale par blocs. Dans ce cas : , l’induit de sur .
Remarque importante : L’induit est de c….
2. Polynôme d’endomorphisme
a. Puissance d’endomorphisme
Définition : Si , , , … , ( avec )
Définition : Si .
Définition : est dite nilpotente si \
b. Polynôme d’endomorphisme
Soit , soit donc .
Proposition : , est une -algèbre
Exemple :
c. Propriété algébrique de polynôme d’endomorphisme
Théorème : Si ,
Est un morphisme de groupe de -algèbre. , et
Définition : est une sous algèbre de
d. Polynôme endomorphisme et SEV stable
Proposition : , , stable par et stable par f
Conséquence : stable par . , , . Proposition : Si , si et si est un SEV stable par f Alors
e. Polynôme annulateur
Définition : Si , si on dit que est un polynôme annulateur de f si
f. Structure
Proposition : L’ensemble des polynôme annulateur de est un idéal de .
g. Polynôme annulateur et inverse
Proposition : et donc f est inversible et \
h. Polynôme annulateur en dimension finie – Polynôme minimale
Proposition : Si alors , i.e. \
Conséquence : Comme tout idéal est principal il existe un polynôme annulateur \ et car . s’appelle le polynôme minimal de f notée .
Conséquence : Dès que , ,
3. TDN : théorème de décomposition des noyaux
Théorème : Si alors ,
Corollaire : Si sont deux à