EXERCICES : Moivre-Laplace, Échantillonnage et Estimation

TS

Gestion du document : pour masquer les CORRigés et les exercices En Préparation : CORR=V et EP=V
Sources : M. Reisse-Barde, M. Mugnier et divers manuels.

‫ ۝‬Exercice 1. Révision du programme de première S.
Partie 1 : Loi binomiale
Une urne contient 60% de boules rouges.
On prélève au hasard et avec remise 100 boules dans l'urne. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges observées dans un tel prélèvement.
1) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Donner son espérance et la valeur arrondie à 10−4 près de son écart type.
2) A l'aide de la calculatrice donner les valeurs arrondie à 10−4 près de : p ( X =60) ; p( X ≤49) ; p ( X ≤50) ; p( X ≥69) ; p ( X ≥70)
Partie 2 : Des intervalles de fluctuation
1) Exprimer en fonction de X la variable aléatoire F qui associe à chaque prélèvement de 100 boules la fréquence de boules rouges observée.
2) Donner l'intervalle de fluctuation I vu en classe de seconde puis, en utilisant les résultats de la première partie calculer la probabilité que F prenne ses valeurs dans I.
3) Utiliser les résultats de la première partie pour déterminer le plus petit intervalle J de la forme

( )

[ ] a b
;
n n

( )

a b où a et b sont des entiers naturels, tel que p F < ≤0,025 et p F > ≤0,025 . n n a b
Que peut on en déduire pour p ≤F ≤
?
n n (

)

‫ ۝‬Exercice 2. Un exemple de l'utilisation d'un intervalle de confiance
Un maraîcher achète un lot de semences de tomates pour produire ses plants de tomate. Il lui reste des semences de l'année passée dont il doit contrôler le taux de germination pour pouvoir les utiliser avec les autres. En effet, des taux de germination trop différents provoquent des trous dans les plates-bandes de production, ce qui génère un coût de manutention plus élevé car il faut enlever les pots non germés avant de les conditionner. Il faut donc comparer les taux de