Exercices - Coniques : corrigé Équations des coniques
Exercice 1 - Réduction de l’équation d’une conique - L2/Math Sup 1. Le discriminant de cette conique est −3. Elle est donc du genre ellipse. On commence par tourner le repère. Pour cela, on remarque que les coefficients devant x2 et y 2 sont égaux. On en déduit que le changement de repère approprié est celui obtenu par une rotation d’angle π/4, soit en posant : x = y =
2 2 X √ 2 2 X √ √

− +

2 2 Y √ 2 2 Y.

En remplaçant dans l’équation initiale, on trouve : X2 Y2 + = 1. 2 2/3 √ On √ √ obtient donc une ellipse centré en 0, de demi-grand axe a = 2 et de demi-petit axe 2/ 3. Les axes de l’ellipse sont les axes (OX) et (OY ), c’est-à-dire dans le repère initial les droites y = x et y = −x. 2. Le discriminant de cette conique vaut 3/4 > 0. Elle est donc du genre hyperbole. On élimine les termes en xy par rotation du repère. On fait une rotation d’angle θ tel que tan(2θ) = √ b = 3 a−c

soit une rotation d’angle π/6. On obtient alors x = y =
1 2 (X 1 2 (X

√

3−Y) √ + Y 3).

On obtient après simplifications l’équation √ 3 2 1 2 3 Y X − Y + X− = 1. 4 4 4 4 En reconnaissant le début du développement de deux carrés, on trouve √ 3 1 2 3 1 X+ − Y + = 1. 4 6 4 2 On√a donc une hyperbole dont le centre a pour coordonnées dans le nouveau repère (− 3/6; −1/2) et dont les asymptotes sont les droites d’équation Y = ±3X (a = 4/3, b = 4, b/a = 3). 3. Le discriminant de cette conique est 4 − 4 × 0 = 4 > 0. Elle est donc du genre hyperbole. On commence par tourner le repère. Pour cela, on remarque que les coefficients devant x2

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Exercices - Coniques : corrigé et y 2 sont égaux. On en déduit que le changement de repère approprié est celui obtenu par une rotation d’angle π/4, soit en posant : x = y =
2 2 X √ 2 2 X √ √

− +

2 2 Y √ 2 2 Y.

En remplaçant dans l’équation initiale, on trouve : X 2 − Y 2 + 2X + 2Y = 1. On reconnait le début du développement d’un carré, et la relation