Abscisse curviligne

du système de coordonnées dépendra des caractéristiques du mouvement. Voici trois systèmes de coordonnées usuels : - Coordonnées cartésiennes. - Coordonnées cylindriques. - Coordonnées sphériques 2.1 Coordonnées cartésiennes Coordonnées : x : abscisse y : ordonnée z : côte Représentation : dy z r ez dz r dx ey M r ex r ez r O ex r ey r ez r ex y r ey x P Vecteur position : r r r OM = x e x + ye y + ze z r r r dOM = dx ⋅ e x + dy ⋅ e y + dz ⋅ e z r ez d OM

tout point P, d’une section droite uniquement en fonction du dépla→ → cement du centre de gravite U G et de la rotation de la section droite Q (s) à l’abscisse curviligne s. → → → −→ − U P (s) = U G (s) + Q (s) ∧ G P © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit Dans le cas d’une poutre droite, l’abscisse curviligne est confondue avec → l’axe x, le champ de déplacement U (u x , u y , u z ) de tout point P(x, y, z) peut ainsi être obtenu par : u x (x, y, z) = u x + u y (x)

= {11k / k ∈ ‫}ގ‬. 17 f1(x) = 3x2 – 2x + 1 ; f3(x) = 2 1 + 1 – 1; x x–1 x 3 3 . f2(x) = – x + x – 2 ; f4(x) = 7x – 3 – (x – 1)3 x 18 f(x) = – x2 + 400. a) xmin = – 44 ymin = – 400 xmax = 44 ymax = 560 De 4 en 4 sur l’axe des abscisses. De 80 en 80 sur l’axe des ordonnées. b) x –∞ 0 +∞ 19 a) Vrai. b) Faux. c) Faux. d) Vrai. e) Vrai. f) Vrai. Justifications : a) La courbe passe par l’origine. b) O est compris dans Df. c) f(5) = 0. d) La courbe passe par le point (2

que l'on peut définir le sens d'une ligne de force.C'est celui du vecteur champ en un quelconque de ses points. 1-2-1 - Circulation du vecteur champ. La circultion du vecteur champ de M1 à M2 le long de la courbe ( ) est donnée par l'intégrale curviligne: Cm1,m2 = A.dM [fig II - 2] Pour la calculer,la courbe étant définie par des équations paramétriques en cordonnées cartésiènnes: Ax.dx + Ay.dy + Az.dz = f( ).d On est ramené au calcul d'une intégrale ordinaire Cm1,m2= f( ) d [II : 1] 1-2-2 -

d’où l’existence de g(y). • Soit y ∈ R. Pour calculer g(y), on sépare en cas selon la position de y par rapport à 0. On peut, à cet effet, s’aider du schéma du a), en coupant la représentation graphique de f par une droite parallèle à l’axe des abscisses. Hypothèse sur y On conclut : ∀ y ∈ R, f ◦ g(y) = y, ou encore : f ◦ g = IdR . z z = g f(x) 1 x ∈ R ; f (x) > y ]y − 1 ; +∞[ ]1 ; +∞[ ]y + 1 ; +∞[ y−1 y+1 si si g(y) y−1 1 y+1 y0 50 g(y) g(y) = 1 g(y) = y + 1 > 1 f g(y) f g(y) =

d’où l’existence de g(y). • Soit y ∈ R. Pour calculer g(y), on sépare en cas selon la position de y par rapport à 0. On peut, à cet effet, s’aider du schéma du a), en coupant la représentation graphique de f par une droite parallèle à l’axe des abscisses. Hypothèse sur y On conclut : ∀ y ∈ R, f ◦ g(y) = y, ou encore : f ◦ g = IdR . z z = g f(x) 1 x ∈ R ; f (x) > y ]y − 1 ; +∞[ ]1 ; +∞[ ]y + 1 ; +∞[ y−1 y+1 si si g(y) y−1 1 y+1 y0 54 g(y) g(y) = 1 g(y) = y + 1 > 1 f g(y) f g(y) =

orient´e. Le sens de parcours d’un arc est une notion g´om´trique orient´e. Les demi-tangente sont des notions e e e e g´om´triques orient´es. e e e D´finition 157 e Soit (γ) = (I, M) un arc param´tr´ de classe C k et t0 ∈ I. e e • On appelle abscisse curviligne d’origine M0 = M(t0 ) le long de l’arc (γ) l’application s : I −→ R d´finie e t → − par s(t) = V(u) du t0 → − normal quand V (t) = 1, ∀t ∈ I. J u −→ R2 est aussi un param´trage e −→ M(u) = (x(ϕ−1 (u)), y(ϕ−1 (u))) myismail.chez.com

Changement de variables . . . . . . . . . . . 23.7 Aire d’un domaine plan . . . . . . . . . . . 24 Propri´t´s m´triques des courbes planes e e e 24.1 Rectification des courbes planes. . . . . . 24.1.1 Notations diff´rentielles . . . . . . e 24.1.2 Abscisse curviligne, longueur . . 24.1.3 Courbure . . . . . . . . . . . . . 24.1.4 Calcul pratique de la courbure . . 24.2 Centre de courbure . . . . . . . . . . . . . 25 Applications affines 25.1 Points-vecteurs . . 25.2 Sous espaces affines 25.3 Barycentres . .

. . . . . . . . . . . . 247 247 249 252 253 254 256 257 24 Propri´t´s m´triques des courbes planes e e e 24.1 Rectification des courbes planes. . . . . . 24.1.1 Notations diff´rentielles . . . . . . e 24.1.2 Abscisse curviligne, longueur . . 24.1.3 Courbure . . . . . . . . . . . . . 24.1.4 Calcul pratique de la courbure . . 24.2 Centre de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 247 247 249 252 253 254 256 257 24 Propri´t´s m´triques des courbes planes e e e 24.1 Rectification des courbes planes. . . . . . 24.1.1 Notations diff´rentielles . . . . . . e 24.1.2 Abscisse curviligne, longueur . . 24.1.3 Courbure . . . . . . . . . . . . . 24.1.4 Calcul pratique de la courbure . . 24.2 Centre de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .