Absolue continuité

interdit Barème indicatif : 10 points pour chaque problème Premier problème I. Etude d’une fonction On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : −1 ⎧ 1 ⎪ f ( x ) = 2 e x si x ≠ 0 x ⎨ ⎪f (0) = 0 ⎩ 1. Etudier la continuité à gauche et à droite, la dérivabilité à gauche et à droite de f en 0. 2. Etudier les limites et variations de f (à résumer dans un tableau) ; préciser les branches infinies. CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI,

continue sur ℜ. Elle est dérivable et sa dérivé F’(x) est continue sur ℜ sauf, éventuellement, en un nombre fini de points de discontinuité. * En tout point « x0 » de continuité d’une densité f, la fonction F est dérivable avec : F’(x0) = f(x0). * Toute fonction positive f sur ℜ qui coïncide avec « F’ » en tout point de continuité de F’(x) est une densité de probabilité de la variable aléatoire X. * xlim F ( x) = 0 . → −∞ x → +∞ lim F ( x) = 1 . Exemple : Déterminer la fonction de répartition

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. 1) Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : A = ln 8 B = ln 2) Exprimez en fonction de ln 2 et ln 3 les réels suivants : a = ln 24 1 16 1 C = ln16 2 c = ln 8 9 1 1 D = ln 2 4 b = ln144 1 2 3) Ecrire les nombres A et B à l'aide d'un seul logarithme : A = 2ln 3 + ln 2 + ln 1 B = ln 9 − 2ln 3 2 Exercice n°2. Compléter le tableau suivant, à partir de certaines valeurs (arrondies à 0,1) près de la fonction logarithme

Automatisation de la production de verre Tout d’abord le verre est fabriquer dans de gros four qui ne s’arrêtent jamais sauf tout les 4ans pour remplacer le four, ils sont fabriquer en briques réfractaires. Ensuite le verre chaud suit des goutières et tombe dans des machines qui servent à calibrer le verre, cette machine est progammé par le biais de calculs pour que les flacon fassent le poids désirés et la contenance qui est demandé par le client tout en gardant une certaine épaisseur de verre

Soit (x,z) les coordonnées d'un point M dans le repère et (X,Z) les coordonnées du même point dans le repère En exprimant les vecteurs du nouveau repère en fonction des vecteurs du premier repère, on a : On a donc . On en déduit En remplaçant x et z par ces expressions dans l'équation de la section S, on obtient : soit en développant les carrés et en réduisant On reconnaît l'équation d'une hyperbole. 1) - M(x;y;z) est un point de T donc x²+y²=z² - M(x;y;z) est

x 2 1 x2 2 1 x ( 1 x x) 1 . 1 x2 x f’(x) – F 0 y 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 x 2. a) f ' ( x) 1 pour tout x réel. Par conséquent sur R (intervalle de continuité), on a : 1 x2 Arc tan x C , où C est une constante à déterminer. Or f (0) et f ( x) f ( x) 2 Arc tan(1) 2 donc C = 2 Arc tan( x) 2 1 b) On sait par cœur que : Arc tan( x) Arc tan( ) suivant le signe de x. x 2 1 Arc tan(

EXERCICE 1 : Question 1 : Pour tout x réelln⁡(ex)=x et donc, ln⁡(ex)=-3 ↔x=-3 Question 2 : La limite de cette fonction correspond a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré : Ainsi limx→+∞f(x))= -2x22x3== -28=-1/4 Question 3 : La tangente a pour équation y=f'(1)x-1+f1 On a f(1)=3 et f'x=3*1x-2 f’(1)=1 Ainsi y=x+2 Question 4 : Le gain suit la loi de probabilité suivante : Gain | 7 | -2 | -3 | Probabilité | 16 | 26 | 36 | Son espérance est : 7*16-2*26-3*36=-1 EXERCICE

valeur. Exercice On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : 1°) Résoudre dans R, l'équation . En déduire l'ensemble de définition de f. 2°) Montrer  : * Pour  * Pour  * Pour  3°) a) Etudier la continuité de f en 0 et en 3. b) Etudier la dérivabilité de f en 0 et en 3 et donner une interprétation graphique des résultats. 4°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 5°) a) Calculer sur , la fonction dérivée f ' de la

(c’est ), ou : Au voisinage de 0, on a : Donc, pour : , d’où . Donc la fonction est prolongeable par continuité en 1 par la valeur 1, et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre 1 en 1 : . Donc f est dérivable en 1, et . • Soit f définie sur , où a est un élément de I. S’il existe tels que, au voisinage de 0 privé de 0 : , alors f est prolongeable par continuité en a (par ), et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre n en a. ? Au voisinage de 0, on a : Donc • Le

1)2 ( x − 1)2 ≤ ln x − ( x − 1) ≤ 0 et ln x − ( x − 1) ≤ . 2 2 4 Il en résulte que, par exemple, 0,00001 est une valeur approchée de ln1, 00001. Dans cet exemple, donner un majorant de l’erreur c’est-à-dire un nombre plus grand que la valeur absolue de la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée. 326 Devoir 5 – MA02-12 Partie B On considère l’algorithme suivant : Entrée a (1 < a < 20) Entrée n (entier naturel) Dans U mettre a Pour I de 1 à n Dans U mettre racine carré