Absolue continuité

R OYAUME DU M AROC ´ Minist` re de l’Education Nationale e et de la Jeunesse Minist` re de l’Enseignement e Sup´ rieur, de la Formation des Cadres e et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d’Admission aux ´ Grandes Ecoles d’Ing´ nieurs e Session 2004 ´ ´ E PREUVE DE M ATH E MATIQUES I Dur´ e 4 heures e Concours MP Cette epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde ´ L’usage de la calculatrice est interdit Concours National Commun – Session

courbe représentative de de variation. sur [−5 /2, 5 /2] et en préciser le tableau On note Φ′ (dérivée généralisée), la fonction égale à la fonction dérivée ′ sur chaque intervalle de la forme ](2 − 1) /2, (2 + 1) /2[ , ∈ Z et prolongée par continuité sur chaque intervalle ](2 − 1) /2, (2 + 1) /2] , ∈ Z. Question 5 Dessiner le graphe de la fonction Φ′ . Soit pose une fonction R −→ R, continue par morceaux et périodique de période 2 ; on 1 2 ( )= ( ) − − d , ∈Z ∈ N∗ et 0( (7)

A est convexe. ◦ b) La partie A est-elle convexe ? Exercice 25 [ 01120 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E. ¯ ¯ Etablir d(A, B) = d(A, B) (en notant d(A, B) = inf d(x, y)) x∈A,y∈B Enoncés 3 Continuité et topologie Exercice 30 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 31 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 32 [ 01125 ] [correction]

Limites et continuité I/ Limites en ∞ d’une fonction : Dans tout le chapitre, l désigne un réel. 1)2)3) Les asymptotes : * Quand limx→ +∞fx=l (respectivement en -∞), on dit que la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à Cf en +∞ (respt -∞). * Quand limx→ +∞fx- ax+b=0 (respt -∞), on dit que la droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à Cf en +∞ (respt -∞). II/ Limites

Physique – Chapitre 1 – TP N°1 - tension (V) OSCILLOSCOPE ET SIGNAUX PERIODIQUES- Correction L’émetteur d’ultrasons L’émetteur d’ultrasons que nous utilisons, émet des sons dont les fréquences sont supérieures à 20 000 Hz : il s’agit alors d’ultrasons que nos oreilles ne peuvent pas détecter. Nous vérifierons cela à la fin de la séance. Nous branchons l’émetteur sur un générateur de tension continue de 15 V, cette tension étant continue (c'est-à-dire constante au cours du temps). temps

pour tout nombre complexe z tel que |z| < min(R, R ), les trois séries numériques an z n , bn z n et cn z n sont absolument convergentes. De plus : +∞ +∞ +∞ cn z n = ( n=0 n=0 an z n )( n=0 bn z n ) • R ≥ min(R, R ) 4 Continuité sur le disque de convergence Théorème : La série entière an z n est normalement convergente sur tout compact contenu dans son disque ouvert de convergence. Théorème : Soit an z n une série entière de rayon de convergence

BACCALAIIREAT GENERAL Session 2009 f,M, heures Les calculatric€s électroniques de poche sotrt autorisées, conformément à lâ réglementation envigueur. Le suj€l est composé ile 4 erercices itrdépetrdâtrls. L€ candidât doit traiter tous les exercrces. I)âns châqùe exercice, le canilidât peui âdmettrè ùn résultat précéd€mment donné dâns le t€xte poùr aborder les qùestiotrs suivâtrtes, à condition de l'indiquer clâirement sur la copi€' Le câtrdidat €st inyité à faire ligùrer sur la copie

Introduction Cas scalaire p = 1 HEI : Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique des Equations H. Sadok Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique Introduction Cas scalaire p = 1 Plan 1 Introduction Bibliographie Introduction Cas scalaire p = 1 Algorithmes de résolution Méthode de dichotomie Méthode de Newton Méthode de la sécante 2 Etude de la convergence Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique Introduction Cas scalaire

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP CONCOURS D’ADMISSION 2004 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Solutions périodiques d’équations différentielles On se propose, dans ce problème, d’étudier les solutions de certaines équations différentielles, et, en particulier, leurs solutions périodiques. On désigne par T un nombre réel > 0, par P l’espace vectoriel des fonctions définies sur R, réelles, continues

Dans un camp d’été, une des activités est de faire des courses dans des modèles réduits d’autos sur une piste horizontale. Pour que tout le monde soit au même niveau, un des animateurs propose de construire un propulseur, qui serait une corde attachée à l’auto à l’extrémité, et après avoir traversé la poulie, à une masse suspendue verticalement à l’autre. Les autos sont d’abord immobiles, c’est la masse qui les entraîne sur la piste. Lorsque la masse ait touché le sol, les autos continuent à bouger