Absolue continuité

Int´grales g´n´ralis´es. e e e e Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des int´grales : e +∞ +∞ I1 = 0 +∞ t3 e−t dt I2 = 1 +∞ ln 2 1 √ dt I3 = 2+1 t t +∞ 0 1/2 t ln t dt (t2 + 1)2 1 1 − 3t + 2t2 dt I4 = 0 t3 ln t dt I5 = (t4 + 1)3 1 + et dt I6 = 2t − 2et + 1 e ln 0 Exercice 2 Les int´grales g´n´ralis´es suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ? e e e e +∞ 2 +∞ +∞ ln tdt, 2 π 0 ln tdt, 0 +∞ e−4t dt, 0 e−t dt, 0 1 2

Fonctions : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f . f(x) 2 (antécédent de 4) 4 (image de 2) On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais

contr^ le (trµs partiel) des calculs e o e des deux premiµ res parties. e ² Dans tout le problµme je note Á les fonctions auxiliaires introduites . e ² J'utilise r¶guliµrement la propri¶t¶: Si Á est continue positive sur R +¤ , si Á se prolonge par continuit¶ en 0 et si e e ¢ e e e ¡ limt!+ 1 t2 Á(t) = L 2 R alors Á est int¶grable sur R +¤ . En e®et les deux premiµres hypothµses assurent l'int¶ grabilit¶ e e e e e sur ]0; 1] alors que la premiµre et la troisiµme l'assure sur [1; +1[ . e e ¡ ¢ ² De m^me

Nll {#, la courbe€'-représente Sur le graphique ci-dessus' 1 , Quel est le sens de variation de f sur l-2; a)? I t- 3 dérivabre i;àJ"î;tfini"ttangente à surcourbeI 11'^^' A' au point la La droite La droite 2. à(€ directeurs des tangentes PréctsezLes coefficients d'abscisses (€ sachant que-: une allure possible de : I est la 9' est la'"igtntt à la courbe en B' lu* point, 3, Donnez -2 ''2;4 ;o ;3' . , fournies par le 9r 1. À partir des informations

LE CALCUL DE L'IMPÔT |[pic] | | | | |Télécharger cette fiche | 1) Le Revenu imposable Le revenu imposable R d’un contribuable s’obtient à partir de son revenu annuel total T en opérant d’abord un abattement de 10 % pour frais professionnels puis en déduisant 20 % de la somme obtenu après cette réduction. 2) Quel taux d’imposition ? Impôt proportionnel : Un impôt proportionnel serait

Chapitre 1 : Continuité et limites Théorème de la valeur intermédiaire f est continue et strictement (dé)croissante sur [Intervalle]. f(x)=y et f(X)=Y, donc d’après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un nombre unique x1 entre x et Y tel que f(x1) = Nb cherché Limites FI • • • • +∞ + -∞ 0 x +∞ ou -∞ 0/0 +ou-∞/+ou-∞ La limite en + ou -∞ d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré. La limite en + ou -∞ d'une fonction rationnelle (polynôme/polynôme) est celle du

CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction inverse x La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 -- qui s’annule en 1. ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x x 2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante

Baccalauréat Série S Nouvelle Calédonie - Mars 2011 Stéphane PASQUET http://www.mathweb.fr contact@mathweb.fr 1er mai 2011 Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats PARTIE A : R ESTITUTION ORGANISÉE DE CONNAISSANCES On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y ′ = a y où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g (x) = K eax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y ′ = a y + b où

x+y 1) Représenter sur un même graphique T et T 0 . 2) On admet que T 0 est un ouvert de R2 . a: Déterminer les dérivées partielles d’ ordre 1 sur T 0 de la fonction f. b: Montrer que f n’ admet pas d’ extremum local (et donc a fortiori absolu) sur T 0 . 3) Démontrer par de simples considérations sur des inégalités que l’ a on pour tout couple (x; y) de T : 2 f (x; y) 16 3 On considère une urne contenant des boules blanches (en proportion p), des boules rouges (en proportion

Concours National Commun - Session 2010 Corrigé de l’épreuve de mathématiques I Filière MP Étude de l’équation de la chaleur Corrigé par M.TARQI I. R ÉSULTATS PRÉLIMINAIRES 1.1 Puisque f est de classe C 2 sur l’ouvert U, alors, d’après le théorème de Schwarz on peut écrire, pour tout x ∈ U, ∂2f ∂2f (x) = (x), ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi donc Hx est une matrice symétrique, et comme elle est réelle, alors Hx est diagonalisable dans une base orthonormée de Rn . 1.2 1.2.1 f est de classe C 2 sur l’ouvert U