Algèbre générale

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Eléments d’algèbre générale Relation d’équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive et transitive. On définit les nouvelles relations S et T par : Enoncés 1 Exercice 5 [ 02985 ] [correction] Soit (G, ×) un groupe et H un sous groupe de (G, ×). On définit une relation binaire R sur G par : xRy ⇔ xy −1 ∈ H Montrer que R est une relation d’équivalence et en décrire

parmi les 25-34 ans a triplé en cinquante ans et la part de bacheliers dans une génération est passée de 4 % en 1946 à plus de 60 % aujourd’hui. Les filles ont largement dépassé le niveau de formation des garçons, particulièrement dans les filières générales. Les jeunes femmes ont un niveau de formation plus élevé. Depuis 25 ans, les femmes n'ont cessé de creuser l'écart avec les hommes en matière d'études. En 1984, seulement 19 % des garçons et 20 % des filles, entrés dans la vie active depuis

Algèbre générale Jean-Romain Heu 13 novembre 2013 Table des matières 1 Logique, langage mathématique et raisonnement 1.1 Éléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 Connecteurs logiques . . Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raisonnements primaires Démonstrations . . . . . Axiomes Raisonnements 1.3.1 1.3.2 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Université de Nantes - 10 avril 2013 « Algèbre, géométrie et théorie des nombres aux XVIIIe et XIXe siècles : Définitions, organisations, interactions, circulations » « Algèbre, théorie des nombres et géométrie chez Leibniz » 1/12 ALGEBRE, GEOMETRIE et THEORIE DES NOMBRES chez LEIBNIZ Introduction On pourrait se demander à bon droit les raisons de la présence d’une communication sur Leibniz lors d’une journée d’études consacrée aux 18e et 19e siècles, alors qu’il meurt 16 ans après le début du

Le mot algèbre est dérivé du mot arabe al-djabr qui signifie «remise en place, transposition». Il a été inventé au IXe siècle par le mathématicien arabe Al-Khwarizmi pour caractériser le transfert d'un terme d'un membre à l'autre dans une égalité. L'algèbre classique du IXe siècle s'est élargie au remplacement des nombres par des lettres et au passage du calcul de formules à la résolution d'équations. Elle se limite aux calculs entre les nombres réels et complexes. Ce n'est qu'au début du XIXe

2 ALGEBRE Exercice 2-1 Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E . Solution : On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite

Algébre linéaire:compléments M.el kati 20 septembre 2013 Table des matières 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels 1.1 codimension : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rang d’une application linéaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 . . . . 4 4 4 4 6 3 Dualité 3.1 Hyperplan et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bases duales . . . . .

fonctions u+ k , , x→ x 2 et x→√x On nourrit la diversité des raisonnements travaillés dans les classes précédentes en montrant à l’aide de contre-exemples qu’on ne peut pas énoncer de règle générale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions. L’étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme. λu , √u et 1 , u Exploiter ces propriétés pour déterminer le sens de variation de fonctions simples. la fonction u étant connue, k

12.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . . . 12.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . 12.2.1 Issues, univers . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Événements . . . . . . . . . . . . . 12.3 Loi de probabilité sur un univers Ω . . . 12.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Cas particulier : l’équiprobabilité 12.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Devoir surveillé n°11 : Probabilités – Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 – 2,5 < 0,05 ⇔ 5x + 50 < 2,55 (2x + 10) ⇔ 245 < x. 2x + 10 Si l’algorithme de la question 3) était programmé, on trouverait comme réponse n = 246. G Problème ouvert 1 Passer par trois points 1 G Si ce problème était posé de manière générale, avec 3 points quelconques du plan, un logiciel de calcul formel ne permettrait pas aux élèves de se rendre compte que la condition nécessaire est le non-alignement. Ici les points sont alignés et, en plus, sur l’axe des abscisses ! L’énoncé précise