Algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide est une méthode pour trouver pratiquement le PGCD de deux nombres sans avoir besoin de faire leur décomposition en facteurs premiers. Il est basé sur la propriété suivante : Si a et b sont deux entiers avec par exemple a>=b, si r est le reste de a par b, alors le pgcd de a et b vaut le pgcd de b et r. On fait donc des divisions euclidiennes, jusqu'à ce qu'on trouve un reste nul. Le dernier reste non nul est le pgcd de a et b. Ex : On souhaite calculer le pgcd de 255 et

fiche n° 10 POLYNOMES On note K = R ou K = C et X la fonction x a x . Définitions Un monôme sur K est de la forme aX k où k ∈N et a ∈ K . Un polynôme P sur K est une somme finie de monômes. Si le polynôme P n’est pas nul, il existe un unique n ∈N et un unique (a0 ,..., an ) ∈ K n +1 avec an ≠ 0 tels que : P = a0 + a1 X + .... + an X n . fiche n° (suite) 10 Formule de Taylor ∀P ∈ K n [ X ] ∀α ∈ K P( X ) = ∑ P ( k ) (α ) ( X − α) k . k! k =0 n Théorème de D’Alembert-Gauss Tout

» des égalités de l’algorithme d’Euclide qui fournit une relation de Bachet entre les entiers a et b : on peut toujours trouver explicitement deux entiers x, y tels que ax + by = pgcd (a ; b). 2. il concerne les nombres entiers ; Bezout a étendu ce résultat aux polynômes. 3 Équations diophantiennes www.mathforu.com Exemple. (5) Pour résoudre l’équation diophantienne 217x + 34y = 2 on cherche le pgcd des nombres 217 et 34. L’algorithme d’Euclide donne : 217 = 34 × 6 + 13 34 =

Algorithmes/Programmation Cours Licence 2 MASS-Math 2009-20010 Chapitre 1 Construire et analyser un algorithme Un programme est l’´criture dans un langage de programmation d’une m´thode de calcul e e effectif qu’on nomme un « algorithme » (du nom du math´maticien Al Khowarizmi). Les e math´maticiens ont d´crit des algorithmes bien avant l’existence des ordinateurs. Les ´coe e e liers apprennent ` ex´cuter des algorithmes depuis que l’´cole a ´t´ invent´e : les m´thodes a e e ee e e enseign´es

le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction irréductible. 3) Donner la fraction irréductible égale à n'est pas . Rédaction du corrigé 1. Pour déterminer le PGCD des deux nombres 4435 et 6209, on utilise l’algorithme d’Euclide basé sur une succession de divisions euclidiennes. CASIO Collège 2D+ fx-92 Pour effectuer une division euclidienne avec la calculatrice Fx-92 2D+, on utilise la touche X qui permet d’obtenir le quotient et le reste de la division euclidienne de

ilemaths.net 1 D´finition : e Le PGCD de deux nombres est le plus grand commun diviseur de ces deux nombres. Exemple : Le plus grand diviseur commun ` 60 et 48 est 12. On note alors : PGCD (60 ; 48) = 12. a Algorithmes : Algorithme des soustractions successives : Algorithme d’Euclide : Fiche issue de http://www.ilemaths.net 2 Propri´t´s e e Soient a et b deux nombres entiers positifs. ­ PGCD(a ; a) = a ­ Pour a b, PGCD(a ; b) = PGCD(a - b ; b) ­ si a divise b, alors PGCD(a ; b) =

 Euclide Livre 7 Proposition I Euclide explique dans la première proposition du livre 7 des éléments d’Euclide, comment on peut découvrir que deux nombres sont premiers entre eux. Il décrit les unités toujours dans la forme des lignes, parce que chaque ligne est un ensemble de nombres. Pour visualiser ses explications, il montre avec des opérations comme mésurer et rétrancher comment on peut trouver les unités ou les différents attributs et les relations entre les différents nombres

TP D’Arithmétique et cryptographie 1 ARITHMETIQUE 1.1 ALGORITHME D’EUCLIDE ET COEFFICIENTS DE BEZOUT 1. Le PGCD de 336 et 102 336=102*3+30 102=30*3+12 30=12*2+6 12=6*2+0 Donc le PGCD (336 ; 102) = 6 2. L’ensemble des diviseurs commun de 336 et 102 sont donc 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , - 3 ,6 , -6 3. Calculons les coefficients de Bézout de 336 et 102 en remontant l’algorithme d’Euclide 6=30-(12 * 2) 6=30-(102-30*3)x2 6=102 * (-2) + 30 * 7 6=102 x (-2) +(336 – 102 ) x7 6 = 336 * 7 + 102 * (-23) Les

Exo7 Algorithmes et mathématiques Vidéo Vidéo Vidéo Vidéo Vidéo Vidéo partie partie partie partie partie partie 1. 2. 3. 4. 5. 6. Premiers pas avec Python Ecriture des entiers Calculs de sinus, cosinus, tangente Les réels Arithmétique  Algorithmes récursifs Polynômes  Complexité d'un algorithme 1. Premiers pas avec Python Dans cette partie on vérifie d’abord que Python fonctionne, puis on introduira les boucles (for et while), le test if ... else ... et les

est 6    Détermination du PGCD Algorithme de différence  On effectue la soustraction du plus grand par le plus petit, puis on remplace le plus grand par la différence, et on recommence jusqu'à ce que la différence soit nulle. Le PGCD est, alors, le dernier résultat non nul.  ExempleDéterminer le PGCD des nombres 12 et 2828 – 12 = 1616 – 12 = 412 – 4 = 88 – 4 = 44 – 4 = 0Le dernier résultat, non, nul est 4, donc PGCD(12 ; 28) = 4  Algorithme d'Euclide   On effectue la division euclidienne