Algorithme de Floyd-Warshall

Miage Th´orie des graphes et algorithmes e Jo¨lle Cohen e 8 septembre 2006 Introduction Ce r´sum´ de cours ne pr´tend pas ˆtre exhaustif ni se substituer en aucune mani`re aux e e e e e ouvrages publi´s sur ce sujet. Ce document n’a d’autre but que de fournir aux ´tudiants un e e support de cours. Apr`s une pr´sentation des notions de base sur les graphes seront abord´s e e e quelques probl`mes et des algorithmes les r´solvant : e e – parcours de graphe – arbre couvrant

. . 1.4.1 Un algorithme de coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Problème de plus court chemin : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Définitions et propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Le Cas des graphes sans circuits : Algorithme de Roy (Rang). 1.5.3 Le cas où tous les poids sont positifs : Algorithme de Dijkstra 1.5.4 Le cas où les poids sont de signe quelconque : Algorithme de Ford-Bellman

utilisée pour charger un fichier de 32Mo, mais faute de temps, nous n’avons pas pu nous attarder davantage sur ce problème. 3 Calculs de plus cours chemins Pour calculer les plus courts chemins, deux algorithmes sont implémentés : l’algorithme de Dijkstra et l’algorithme de Floyd-Warshall. Le premier est utilisé afin de trouver la plus courte distance entre deux noeuds (première question) et le second est utilisé pour calculer la distance moyenne des noeuds d’un graphe connexe (seconde question)

Note La règle (appelée « principe d’optimalité ») commune aux algorithmes de recherche de plus courts chemins peut s’énoncer ainsi : un plus court chemin [S1, Sn] entre deux sommets S1 et Sn d’un graphe est constitué de plus courts chemins reliant deux sommets du chemin [S1, Sn] ; on la démontre par l’absurde sans problème. La recherche du plus court chemin passe donc par la recherche des plus courts chemins reliant S1 à tous les sommets du graphe susceptibles de se trouver sur le trajet ;

avancée IUP 2 Frédéric Vivien 24 avril 2002 Table des matières 1 Introduction 1.1 Qu’est-ce que l’algorithmique ? . 1.2 Motivation : calcul de xn . . . . 1.2.1 Problème . . . . . . . . 1.2.2 Algorithme trivial . . . . 1.2.3 Méthode binaire . . . . 1.2.4 Algorithme des facteurs 1.2.5 Algorithme de l’arbre . . 1.2.6 Et après ? . . . . . . . . 1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

............................................................................ - 28 - III. Résolution du problème ..................................................................................................................... - 30 III.1. Algorithme à appliquer ................................................................................................................ - 30 III.2. Application sur un exemple ................................................................................

Le projet consiste à developper une solution de surveillance pour  Informatique : Cloud  Linux, Nagios,  tous les composantes d'un cloud : machine virtuel, hyperviseurs,  computing Xen, KVM,  controlleurs, clusters ….. OpenNabula,  Eucalyptus 30 Algorithmes de partitionnement  d’espace multidimensionnels pour la  recherche d’images Les systèmes d’indexation et de recherche d’image ont une  Informatique/Téléco longue histoire dans la littérature. Le système est constitué de  ms : Traitement  deux phases

partir d’un sommet x, permet d’obtenir un plus court chemin de x vers tout autre sommet accessible depuis x. S5 S6 S7 S10 S9 S8 Chaire de R.O. Page 6 sur 29 MOCA B1 EVALUATION DE COMPLEXITE D'ALGORITHMES ED N° 4 I Pour les deux algorithmes suivants, calculer la complexité dans le pire des cas, dans le meilleur des cas et en moyenne. 1) Soient A = (aij) et B = (bij) deux matrices n x n à coefficients dans R. L'algorithme suivant calcule les coefficients cij de la matrice C, où C =

directes de r´ solution des syst` mes lin´ aires : e e e e m´ thode d’´ limination de Gauss et de d´ composition LU. e e e O Complexit´ algorithmique : algorithme de Strassen. e O M´ thodes it´ ratives de r´ solution des syst` mes lin´ aires : m´ thode de Gausse e e e e e Seidel, m´ thode de relaxation, m´ thode du gradient conjugu´ . e e e O Algorithmes de minimisation sous contraintes dans Rn : conditions de KuhnTucker. ´ ´e O Approximation des equations aux d´ riv´ es partielles : el´ ments finis,

alors : � une clique est un sous-graphe (induit) complet de G, � un stable est un sous-graphe induit de G sans arcs/arêtes. Trouver une clique d'ordre k dans un graphe est un problème NP-complet, ce qui implique qu'il n'existe pas à ce jour un algorithme résolvant ce problème de façon exacte avec une complexité polynomiale (elle est exponen- tielle). Le problème consistant à trouver la plus grande clique d'un graphe est appelé � problème de la clique maximum �, et est encore plus di�cile ! (il est