Analyse vectorielle

une application F de classe C 2 de U dans R3 telle que les vecteurs (∂1 F )(u) et (∂2 F )(u) soient linéairement indépendants pour tout u de U . On a en outre W (u) = (∂1 F )(u) ∧ (∂2 F )(u) (∂1 F )(u) ∧ (∂2 F )(u) où . ∧ . désigne le produit vectoriel dans R3 . On pose K(u) = det A(u) , H(u) = 1 tr A(u) 2 où A(u) est la matrice définie à la question 4.d). On note Fi (u), i = 1, 2, 3, les composantes de F (u) ; on suppose que U contient le point 0 et on fait l’étude de la surface F (U ) au voisinage

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 4 Mod´lisation et analyse en programmation lin´aire e e 4.1 La programmation lin´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1 MATRICES 3 1 1.1 Matrices D´finition e Une matrice A de dimension m × n est un tableau rectangulaire

les mathématiques sont fortes. Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « animateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité

β M M O O β β L β α       EXERCICE 14. Soit A une matrice symétrique réelle à n lignes et n colonnes telle qu’il existe un entier k vérifiant Ak = In .Montrer que A 2 = In . EXERCICE 15. Vrai ou Faux. E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps de nombres complexes K. Soit f un endomorphisme de E. Id est l’application identique. Donnez votre opinion sur les assertions suivantes (à justifier par une démonstration). 01. Si f 2 = f , alors f est inversible

inférieur », on appelle rang du système, le rang de la matrice associée. IV. Définition vectorielle d’un système linéaire Définition : À chaque système linéaire on associe une application linéaire définie comme suit : Où : est la matrice associée à l’application linéaire , est un espace vectoriel de dimension le nombre d’inconnues (nombre de colonnes de la matrice ), est un espace vectoriel de dimension le nombre d’équations (nombre de lignes de la matrice ), est un vecteur colonne

conditions équivalentes suivantes est vérifiée. 1. Le rang de la matrice 2. Le déterminant de la matrice Si si est strictement inférieur à . est nul : est une valeur propre, l'ensemble des vecteurs tels que , est un sous-espace vectoriel. Par définition, il contient le vecteur nul, et tous les vecteurs propres de associés à . On l'appelle le " sous-espace propre'' associé à . Remarquons qu'un même vecteur propre ne peut être associé qu'à une seule valeur propre. Par conséquent

b) ∈ K × K∗ et l’ensemble La,b de suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : La,b = {(un )n∈N ∈ KN | ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun }. L’ensemble La,b est un K-espace vectoriel de dimension 2. Démonstration. Il y a deux points à vérifier. • Pour montrer que La,b est un K-espace vectoriel nous montrons que c’est un sous-espace vectoriel de KN . La suite nulle est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 donc La,b est non vide. Soit u et v deux suites de La,b et (λ, µ) ∈ K2 . Posons w = λu + µv. Nous

SEL. 5) Modéliser un problème contextuel sous la forme d’un SEL. 6) Résoudre un problème contextuel à l’aide d’une méthode matricielle (5 étapes vues en classe). Chapitre 5 1) Connaître et de définir divers termes appartenant au lexique vectoriel (scalaire, vecteur, vecteur géométrique, module, direction, vecteur nul, vecteur unitaire, vecteur algébrique, composante, base, base orthogonale, base orthonormée). 2) Donner une représentation graphique d’un vecteur. Vecteurs géométriques

scannées sont de ce type. Les images vectorielles. Les images vectorielles sont composées de formes géométriques qui vont pouvoir être décrites d'un point de vue mathématique. Par exemple une droite sera définie par 2 points, un cercle par un centre et un rayon. Le processeur est chargé de "traduire" ces formes en informations interprétables par la carte graphique (images Word, Publisher, CorelDraw - format WMF, CGM, etc.) Les avantages d'une image vectorielle : les fichiers qui la composent sont

MPSI 1 Devoir en temps libre no 22 2005-2006 Espaces euclidiens A rendre le lundi 24 avril Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi