Anneau euclidien

faire leur décomposition en facteurs premiers. Il est basé sur la propriété suivante : Si a et b sont deux entiers avec par exemple a>=b, si r est le reste de a par b, alors le pgcd de a et b vaut le pgcd de b et r. On fait donc des divisions euclidiennes, jusqu'à ce qu'on trouve un reste nul. Le dernier reste non nul est le pgcd de a et b. Ex : On souhaite calculer le pgcd de 255 et 141. 255=1×141+114 141=1×114+27 114=4×27+6 27=4×6+3 6=2×3+0 Le pgcd de 255 et 141 est donc 3. L'algorithme

dominant (et ses racines). Division euclidienne 4. Calculer la division euclidienne de P par Q où (a) P = X 3 + 2X + 3 et Q = X + 2. (b) P = X 3 + 2X + 3 et Q = X 2 + 3 (c) P = X 4 − 3X et Q = X 5 − 3 (d) X 3 − iX 2 − X et Q = X − 1 + i. (e) X n − 2 et Q = X + 1 5. Calculer les restes dans la division euclidienne de . . . (a) X n + X n−1 + X + 1 par ( X − 1)2 (b) X 2n + 2X n + 1 par X 2 + 1 6. Soit P ∈ R[ X ]. On suppose que les restes des divisions euclidiennes par X, X − 1, X + 1 sont respectivement

COMPLÉMENTS 1 Séries dans un evn Définition 1 : Un groupe cyclique est un groupe monogène fini 1 1 1 1 2 2 3 3 4 Table des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau Z Exemple 1 : G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 et aba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il n’y

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

degre au plus egal a n ? 1 tel que P ( ) = 0. Parmi tous les polyn^mes unitaires de Q X ] s'annulant en , choisissons o un polyn^me de degre minimal. Soit A un tel polyn^me. E ectuons la o o n ? n par A ; nous obtenons X n ? n = AQ + R division euclidiene de X avec deg(R) < deg(A) < n. Il vient alors?R( ) = 0 et R = 0. A divise donc X n ? n ce qui est faux. La famille i i2f0;:::;n?1g est donc libre. Remarque P s'annule en donc est divisible par X n ? n qui est le polyn^me minimal de dans Q X ] ce

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 49 49 50 51 53 53 54 55 57 58 60 68 68 68 70 71 72 74 74 77 78 81 85 4 ESPACES EUCLIDIENS 4.1 ADJOINT D’ UN ENDOMORPHISME . . . . . . . . . . . 4

le dit ici, mais il n'est que le porte-parole de Thrasymaque. Adhage « faire de nécessité vertu »Récit de la fable : Gygès est supposé se conduire conformément à la loi, être juste. Après un gros orage, il découvre une grotte. Un cadavre ayant un anneau au doigt. Il l'arrache...(mauvais signe!) Il découvre le pouvoir magique de l'anneau qui le rend invisible et se met alors, en toute impunité, à commettre les pires injustices.Conséquences :Le juste, comme l'injuste s'il avait l'anneau de Gygès, selon

un ensemble non vide, alors une suite d’éléments de X est une application définie sur N (ou une partie de N) à valeurs dans X. On note usuellement u = (un )n∈N ou u = (un )n≥n0 une telle suite. L’ensemble QN des suites de nombres rationnels est un anneau commutatif unitaire pour les opérations classiques d’addition et de multiplication. Définition 1.1 On dit qu’une suite (rn )n∈N de nombres rationnels est convergente s’il existe un nombre rationnel r tel que : ∀ε ∈ Q+,∗ , ∃n0 ∈ N | ∀n ≥ n0 , |rn −

fonctions a, b, c, d, e, f de R\ 0, 1 dans R définies pour tout x ∈ R \ 0, 1 a(x) = x, d(x) = x , x−1 e(x) = x−1 x (f +g)(x) = f (x)+g(x) et par : b(x) = 1 − x, a) Montrer que R , +, × est un anneau commutatif. Est-il intègre ? b) Montrer que C (R, R) est un sous-anneau de RR . c) Déterminer U RR . 1 , x f (x) = 1 . 1−x ————————————– Montrer que a, b, c, d, e, f est un sous-groupe de SR\{0,1} dont on déterminera la table. 10 ————————————– 6 (f ×g)(x)

ex. Le film le Seigneur des Anneaux ou les films de super héros Selon Platon, la justice à une valeur instrumentale et intrinsèque >C'est quelque chose qu'on doit rechercher en elle-même -Doit se soumettre à la justice Défi de Glaucon et anneau de Gygès Que faire en situation. 1-Pouvoir 2-Anonymat/ Impunité: guider par la justice ou intérêt personnel Ex. On veut une transparence de la part de nos dirigeant donc pas d'anonymat/impunité Une question psychologique -Qu'est ce qui nous