Anneau principal

puissance n + m − 1. 3. L’idée est d’utiliser l’identité remarquable (toujours valable dans un anneau) 1 − xp = (1 − x)(1 + x + · · · + xp−1 ). Si on l’applique pour p = n, alors on obtient 1 = (1 − x)(1 + x + · · · + xn−1 ) ce qui implique que 1 − x est inversible d’inverse 1 + x + · · · + xn−1 . 4. Soit n ≥ 1 tel que (uv)n = 0. Alors (vu)n+1 = v(uv)n u = v × 0 × u = 0. Ainsi, vu est nilpotent. Exercice 2 - Anneau de Boole - L2/L3/Math Spé 1. On applique la propriété à l’élément x + x. Il vient x + x

1.1 Montrer que 0 est la borne supérieure du sous-ensemble X = Q. Solution 1.1 ♠♠♠ Exercice 1.2 Montrer que le sous-ensemble X = {r ∈ Q | x2 < 2} de Q n’a pas de borne supérieure dans Q. Solution 1.2 ♠♠♠ Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant. Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure. 3 1 | n ∈ N∗ n de 4 Le corps R des nombres

COMPLÉMENTS 1 Séries dans un evn Définition 1 : Un groupe cyclique est un groupe monogène fini 1 1 1 1 2 2 3 3 4 Table des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau Z Exemple 1 : G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 et aba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour conclure qu’il n’y

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

est la borne supérieure du sous-ensemble X = Q. 1 | n ∈ N∗ n de Solution 1.1 ♠♠♠ Exercice 1.2 Montrer que le sous-ensemble X = {r ∈ Q | x2 < 2} de Q n’a pas de borne supérieure dans Q. Solution 1.2 ♠♠♠ Le but de ce chapitre est de donner les principales idées qui conduisent à la démonstration du théorème suivant. Théorème 1.1 Il existe un corps totalement ordonné R qui contient Q dans lequel toute partie majorée non vide admet une borne supérieure. 3 4 Le corps R des nombres réels Un tel corps

Peuple de Durin. l'Appendice B est une chronologie des Second et Troisième Âges. l'Appendice C contient les arbres généalogiques des principaux Hobbits du récit (Sacquet, Touque, Brandebouc, Gamegie). l'Appendice D étudie les divers calendriers employés par les Elfes, les Hommes et les Hobbits. l'Appendice E présente les deux principaux alphabets utilisés en Terre du Milieu : les tengwar et les cirth. l'Appendice F, enfin, recense les langues des divers peuples apparaissant

Qualification Capteur angulaire RF300 Spécification géom. 12V Contrôle sur MMT Bras de mèche Unité de calcul AC10 19/03/2008 SII - TSI 2 5 Présentation du système Présentation du système • Diagramme FAST de la fonction principale FP2 Enoncé du besoin Diagramme des inter acteurs Chaîne d’énergie / Chaîne d’inform. FT6: Se connecter à la source d’énergie FT7: Distribuer l’énergie électrique Structure du pilote automatique Connecteur Calculateur AC10 Diagramme

Coussinet Ø25 x 32 Vis CHC M8-20 Segment d'arrêt, radial, 10 x 1,1 Axe de fixation moteur Axe Ø12x36 Ecrou Hm,M16 Vis sans tête fendue à téton long M16 Rondelle à dents DEC 5 Rondelle plate - type S - 5 Vis CHC M5 x 50 Arbre de guidage Bride Ecrou Hm,M12 Anneau élastique pour arbre, 16 x 1 Axe Ø16 x 93 Rondelle plate - type L - 16 Vis-axe H M12 x 55 Palier de guidage Ecrou (filet trapézoïdal) Vis (filet trapézoïdal) Moto-réducteur Plateau supérieur Bras de pantographe Bras de pantographe Châssis Base Désignation

dont le terme d'indice (i; j ) est j i ? j j. Calculer det A. (a) Soit A = (aij ) une matrice carree. Soit! = Diag(z1; : : : ; zn). D ! X Y zi det(MI ) , ou MI = (aij )(i;j)2I . Montrer : det(A + D) = (b) Application : Soit Sp la somme des mineurs principaux d'ordre p de A. Montrer : n n n?1 + S X n?2 ; : : :; +(?1)n?1 S X + (?1)n S A = (?1) X ? S1 X 2 n?1 n I Nn i=I 2 2 0 1 B A1 A2 C avec A2 2 Mp;n?p(K ) @0 AA 3 et 107 123. Soit A 2 Mn;p? K ); p6n de terme general ai;j . ( X Montrer :

le dit ici, mais il n'est que le porte-parole de Thrasymaque. Adhage « faire de nécessité vertu »Récit de la fable : Gygès est supposé se conduire conformément à la loi, être juste. Après un gros orage, il découvre une grotte. Un cadavre ayant un anneau au doigt. Il l'arrache...(mauvais signe!) Il découvre le pouvoir magique de l'anneau qui le rend invisible et se met alors, en toute impunité, à commettre les pires injustices.Conséquences :Le juste, comme l'injuste s'il avait l'anneau de Gygès, selon