Application bilinéaire

que u = k v . En posant X0 = −k, il apparaît que P(X0) = 0. Donc X0 est une racine de P. Et comme X0 est unique (puisque k l'est), c'est une racine double de P. On a donc : | u . v | = || u || || v || ⇔ u et v colinéaires → → → → → → → → → → Application : la perpendiculaire commune. → → Dans l'espace, on considère deux droites D et D' dirigées par des vecteurs u et v non colinéaires. Montrer que, dans ces conditions, il existe une unique droite ∆ perpendiculaire à D et D'. → u I →

K-espace vectoriel normé. Exercice 1: Soit q : E → E. 1: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(−x) = q(x) et (x, y) → q(x + y) − q(x) − q(y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). 2: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(0) = 0 et (x, y) → q(x + y) − q(x − y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). Exercice 2: Vérifier s’il sagit bien d’une forme quadratique : 1) E =

édité le 3 juin 2013 Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice

que ∀v ∈ H0 (Ω) : α Ω uv)dΩ + σ Ω u vdΩ = Ω f vdΩ Les termes de bord ont disparus car v s’annule presque partout sur le bord. 2.3 1 1 On a donc Trouver u ∈ H0 (Ω) telle que ∀v ∈ H0 (Ω) : a(u, v) = l(v) En posant a la forme bilinéaire : a(u, v) = α Ω uv∂Ω + σ Ω u v∂Ω Et l la forme linéaire l(v) = Ω f vdΩ On a |a(u, v)| ≤ α Ω |uv|∂Ω + σmax Ω u v∂Ω ie 1 |a(u, v)| ≤ (α + αmax )(u, v)H0 (Ω) 1 1 1 D’apres Cauchy-Schwartz : |a(u, v)| ≤ (α + αmax

Applications multilinéaires - Déterminants Définition 5.1 (Applications multilinéaires)   Soient et F des K- espaces vectoriels . Une application est dite n-linéaire si pour tout , quel que soit , l'application partielle est linéaire . Lorsque F=K on parle de forme n-linéaire. Lorsque n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire). Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique)   Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application est bilinéaire. Théorème 5

Module : ALG 3. Déterminants Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e.v de dimension n: I/ Formes n Linéaires Alternées Dé…nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 0 n E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a : 0 0 f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ;

VARIATIONNELLE Ex. 20 — Vérifier que si a est une forme bilinéaire symétrique et coercive sur un espace d’Hilbert H alors a définie un produit scalaire sur H × H. Ex. 21 — Soit V un espace d’Hilbert et Vh un sous espace de V . a une forme bilinéaire et L une forme linéaire et u et uh vérifient : a(u, v) = L(v) a(uh , v) = L(v) ∀v ∈ V et ∀v ∈ Vh Vérifier que : a(u − uh , u − uh ) = a(u − uh , u − v) ∀v ∈ Vh Ex. 22 — Soit a une forme bilinéaire symetrique sur H × H et L une forme linéaire sur H. On

rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée. ( ) un Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice

[http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice

vectoriel sur R. 19.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel Définition 19.1.1 (produit scalaire sur un R espace vectoriel) Soit E un espace vectoriel sur R. Soit f une application de E × E dans R. On dit que f : E × E → R est un produit scalaire sur E si elle vérifie les propriétés suivantes : – l’application f est bilinéaire. – pour tous vecteurs u et v de E, on a f (u, v) = f (v, u) (on dit que f est symétrique). – pour tout vecteur u de E, on a : f (u, u) 0 (on dit que f est positive). → −