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p 1 j s q , alors A(BC) = bil clj (AB)C = A(BC). q 1 i q 1 j s r aik k=1 . bkl clj l=1 1 i p 1 j s On obtient le résultat voulue en permutant les symboles de sommation dans (AB)C et A(BC). Définition (Application linéaire associée à une matrice) Soit A ∈ Mn,p (K). L’application linéaire ; on l’appelle l’application linéaire associée à A. Kp X −→ −→ Kn AX est Explication Bien sûr, dans cette définition, le vecteur X de Kp doit être vu

.., xn ) une famille de n vecteurs de rang r et (x1 , ..., xm ) une sous famille de rang s (m s r). Montrer que s r + m − n. Cas d’égalité ? n et no 18 (**) : Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soient f et g deux applications linéaires de E dans F. Montrer que |rgf − rgg| rg(f + g) rgf + rgg. no 19 (**) : Soient E, F et G, trois K-espaces vectoriels puis f ∈ L (E, F) et g ∈ L (F, G). Montrer que rgf + rgg − dimF rg(g ◦ f) Min{rgf, rgg}. no 20 (***) : Soient E un

 Université Hassan 1er  Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales. Settat. 2ème année de Sciences Economiques Fiche 2 de T.D de Mathématiques Applications linéaires Module : Méthodes quantitatives III Année universitaire : 2013-2014 Exercice 1 I/ les applications suivantes sont-elles linéaires ? justifier: g : R2R2 , définie par g(x,y) =(2x + y , x -2) h : R2R3 , définie par h(x,y) =(x, |y|, 0) II/  Soit f l’application linéaire de R3 dans R2

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Algèbre linéaire Sommes-nous dans la matrice ? Aller voir Matrix. Qu’est ce qu’un problème linéaire ? Demandons en premier lieu qu’est ce qu’un problème ? Soient E et S deux ensembles. L’ensemble E est l’ensemble des entrées ( ou des données) et S l’ensemble des sorties. Un problème P est un élément du sous-ensemble Ensuite, quand ce problème est-il linéaire ? Quand il existe une relation linéaire entre les entrées et le sorties. Illustration : la linéarisation d’un problème

CHAPITRE 4 : MATRICES 1. DEFINITION Soit f une application linéaire de Rn dans Rp ; on note (e1, e2, …, en) et (l1, l2, …, lp) les bases respectives de Rn et Rp. La matrice M associée à f relativement aux bases de Rn et Rp est le tableau dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs f(e1), f(e2), …, f(en) dans la base (l1, l2, …, lp) de Rp. 2. NOTATION Apn : est la matrice rectangulaire de p lignes et de n colonnes. aij : est l’élément de la matrice Apn de la ième ligne et de

COURS MPSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 09/10 A) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours, E,F et G désignent des K-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c’est un morphisme de K-espaces vectoriels) si f est un morphisme pour les deux lois définies sur E et F, c’est-à-dire si → → → → → → 1. ∀− , − ∈ E f (− + − ) = f (− ) + f (− ) x y x y x y − ∈ E ∀λ ∈ K f (λ− ) = λf (−

techniques). Entre 100DOO et 300DOO euros. Coût d'un site mobile. Entre 50000 et 150000 euros. Coût d'une application mobile. es voyagistes aux constructeurs automobiles, de la i banque au luxe, plus de cent Imarques communiquent r aujourd'hui activement sur le mobile en France. Parmi les derniers arrivés, la grande distribution. Depuis janvier, Franprix propose ainsi sur Iphone une application réalisée par The CRM Mobile Corp permettant d'enregistrer sa liste de courses à partir de la base de produits

Chapitre 4 - les applications linéaires Rétour sur le cours du 29 X 2007 ► Définition ● Soient E et F deux espaces vectoriels sur IR, et soit f(.) une application de E dans F. f est une application linéaire si et seulement si l’on a : (X(E, (Y(E, (α ( IR, (β ( IR, f(αX+ β Y) = αf(X)+ βf(Y). ● L’application f1(.), par exemple, de IR² dans IR², définie par f1 = , est une application linéaire. En effet, (( IR², (( IR², (α ( IR, (β ( IR, on a : f1 = αf1 + βf1. Vérification : αf1 + βf1

comme base de R Soit la proposition : Soient E et R deux espaces vectoriels,e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E et A = (a1 , a2 , a3 )une famille de vecteurs de R alors il existe une unique application lin´aire : f : E −→ R telle que f (ei ) = ai pour tout indice e i=1,2,3 Toute forme lin´aire f sur E est une application lin´aire de E dans R. On la repr´sente alors dans les bases e et {1} e e e par : f : E−→ R   x1 3 3 x−→ f(x)=f( i=1 xi ei )= i=1 xi f (ei )= x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + x3 f (e3 )= x1