Approximation affine

rapport à une quantité totale. Mais qu’en est-il si l’on cherche une quantité résultant de variations successives en pourcentage ? Comment déterminer le pourcentage global d’évolution ? Dans quels cas est-il possible de trouver facilement une approximation de ce pourcentage ? Comment calculer ou appliquer un pourcentage ? Pour calculer le pourcentage que représente une quantité n par rapport à une quantité totale N, il suffit de calculer le quotient {draw:frame} , puis de le multiplier

Variaton relative - Taux de variation moyen Taux de variation instantané - Élasticité de type arc Élasticité de type point - Fonction approximation linéaire - Équation d’une droite tangente - Méthode de Newton o Fonction de 2 variables - Dérivée partielle - Fonction approximation linéaire - Équation d’un plan tangent - Différentielle - Variation en valeur - Approximation de la variation en valeur o Équation de 2 variables - Équation aux variations différentielles - Variable dy définie localement

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement

paire on déduit la courbe sur ] - π ; 0 [ en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées . IV ) 1° g ( x ) = f ( x2 ) g est dérivable par composée de deux fonctions dérivables . g’ ( x ) = f ’ ( x2 ) × 2x = 1 2 × 2x = x2 x 1 2° une approximation affine de f ( 1 + h ) est f ( 1 ) + f ’( 1 ) × h soit 0 + × h soit h 1 donc f( 1.1 ) = f ( 1 + 0.1 ) ≈ 0.1 Donc h est strictement décroissante sur ] 0 ; V ) 1° la fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables où cos x ≠ 0 et

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement

 cherchée  f  est  approximée  de  manière  affine,  c'est  à  dire  que   pour  un  h  suffisamment  petit  et  pour  un  point  connu  (t  et  f(t)  par  exemple)  on   pourra  écrire:     f(t+h) = h.f '(t) + f(t) a)  Principe     En  rouge  la  fonction  cherchée,  en  bleu  son  approximation  affine  au  point  ti.     A   partir   du  

{équation de T} ? C au dessous de T f(x) – {équation de T} = 0 ? f(x) = {équation de T} ? point(s) commun(s) de C et T f(x) – {équation de T} < 0 ? f(x) < {équation de T} ? C au dessus de T V Approximation affine et valeurs approchées ( a partir d'un exemple ) a) Donnez l'approximation affine de f(-1+h) où h est un nombre réel très proche de 0 f(-1+h) ? f(-1) + h × f'(-1) [ f(-1) = -3 et f'(-1) = -3 ] donc f(-1+h) ? -3 – 3h pour h ? 0 b) En déduire les valeurs approchées de f(-1

+ 5h2. 3. La quantité d(t) + 24h est donc une approximation (affine) de d(t + h). Quelle est l'erreur de cette approximation lorsque h = 1 ; h = 0,1 ; h = 0,01 ? Le nombre v tel que d(t + h) = d(t) + vh + 5h2 s'appelle le nombre dérivé de d en t. Ce nombre se note d'(t). Activités sur la dérivation Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ INTRODUCTION AU NOMBRE DÉRIVÉ : APPROXIMATION AFFINE D'UNE FONCTION A) Approximation affine d'une fonction parabolique au voisinage de 0 :

Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée. 2. Meilleure approximation affine Théorème 1 f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x0+ h) = f(x0) + l h + h(h) avec Alors l = f '(x0). Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction h f(x0 + h) par la fonction affine h f(x0) + f '(x0)h. L'erreur commise en effectuant ce remplacement est h (h). Cette erreur n'est petite que lorsque

dérivable en 1 et déterminer le nombre dérivé f'(1) Exercice 5 : f est la fonction définie sur R par f(x)=x³-2 1) Développer f (2+h) où h est un réel quelconque 2) En déduire que f est dérivable en 2 3) Donner une valeur approchée par approximation affine de f (2,003) 4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse 2. 5) Démontrer que pour -1≤h≤1, l’erreur commise en remplaçant f (2+h) par f (2) +hf’ (2) est majorée par 7h².