Arc tangente

I = ∫ dt est 2 0 1+ t2 1 1+ t convergente. + ∞ sin( t ) Quelle est la nature de l'intégrale ∫ dt ? 0 1+ t2 2°) Montrer que la fonction tan définit une bijection de ]−π /2, π/2 [ sur R. La réciproque de cette fonction est la fonction Arc tangente, notée Arctan. Etudier cette fonction : ensembles de départ et d'arrivée, continuité, sens de variations, limites. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé. Déterminer Arctan(0), Arctan(1). Montrer que la fonction Arctan

MPSI 1 - 2 Corrig´ du devoir en temps libre no 2 e Exercice 1 : Simplification d’une expression. 1. Smplification par d´rivation. e (a) x appartenant ` R, f est d´finie en x si et seulement si : −1 a e 2 1 − x2 1 + x2 0, 1, c’est-`-dire : a 1 − x2 1 , soit : (1 − x2 )2 (1 + x2 )2 , soit 4x2 1 + x2 in´galit´ toujours v´rifi´e. e e e e Donc en notant D le domainde de d´finition de f : D = R . e (b) x appartenant ` D, −x appartient ` D et : a a 1 − x2 1 − (−x)2 = Arccos = f (x) . f

Exercice 1: ABD est rectangle en A. tan(ABD) = DA/AB donc ABD = Arctan(10/8) = Arctan(5/4) CHB est rectangle en H donc sin(CBH) = CH/CB donc CH = CBsin(CBH) Or CBH = CBD + ABD Si on note F le point tel que CFBE est un rectangle alors: CBD = CBF cos(CBF) = BF / CB donc CBD = Arccos(BF/CB) CBE est rectangle en E donc CB^2 = 10^2 + 20^2 = 500 donc CB = 10V5 CH = CBsin(CBH) = 10V5(sin ( Arccos(2V5/5) + Arctan(5/4)) ça doit être ça je pense Exercice 2: Je note $ les vecteurs. 1) ($OI,$OA) = PI ($OI

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

Séries entières 1 Dénitions Dénition d'une série entière : Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et

Amélioration de la précision (correcteur PI) 1. Correcteur P.I. (actions proportionnelle et intégrale) |Ce correcteur permet un changement de classe de l'asservissement (de la|[pic] | |classe 0 à la classe 1) donc permet une amélioration très sensible de |  | |la précision (plus d'erreur de position). | [pic]

PRELIMINAIRES ² On notera qu'il est dit dans la troisiµme partie que N1 (f ) · 2N 2 (f ) , ce qui donne un contr^ le (trµs partiel) des calculs e o e des deux premiµ res parties. e ² Dans tout le problµme je note Á les fonctions auxiliaires introduites . e ² J'utilise r¶guliµrement la propri¶t¶: Si Á est continue positive sur R +¤ , si Á se prolonge par continuit¶ en 0 et si e e ¢ e e e ¡ limt!+ 1 t2 Á(t) = L 2 R alors Á est int¶grable sur R +¤ . En e®et les deux premiµres hypothµses assurent l'int¶

à mes collègues de Spé d'avoir encore et encore à vous le dire aussi). On la met sous forme de Cauchy-Lipschitz. On doit trouver une primitive à l'applica- t −→ Arctan(t)/(1 − t)3 . Pour ce faire, on intègre par parties en dérivant l'arc2 3 2 tangente en 1/(1 + t ) et en remontant le 8/(1 − t) en 4/(1 − t) . On en est donc à t 2.Arctan(t) dt At = + 2. . On va décomposer en éléments simples en 2 2 ).(1 − t)2 (1 − t) 0 (1 + t tion séparant 1 a b c.t + d = + + . (1 + t2 ).(1 − t)2 (1 − t) (1

Exercices sur les int´grales g´n´ralis´es e e e e 1. Calculer les in´grales g´n´ralis´es suivantes : e e e e ∞ a) 0 ∞ dx (1 + ex )(1 + e−x ) ln x dx x2 ∞ b) 0 1 e− √ √ x 1 x dx c) 0 ln x dx d) 1 ∞ e) 0 ∞ ln x dx (1 + x)2 ∞ f) 0 π/2 xn e−x dx (n ∈ N) g) 0 arctan x dx 1 + x2 h) a dx (a > 0, r > 0) x(x + r) i) 0 cos 2xdx √ sin 2x 2. Montrer que les int´grales suivantes convergent : e ∞ π/2 √ 1 2 √ e− x +x+1 dx

Exercices de math´matiques MPSI et PCSI e par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des mati`res e 1 G´n´ralit´s sur les fonctions e e e 2 Continuit´ e 3 D´rivabilit´ e e 4 Fonctions de classes Ck 5 Bijections 6 D´veloppements limit´s e e 7 Groupes, anneaux, corps. 8 Polynˆmes o 9 Fractions rationnelles 10 Arithm´tique e 11 Nombres complexes. 12 Suites 13 Suites un+1 = f (un ) 14 Ensembles 15 Espaces vectoriels et applications lin´aires e 16 Familles g´n´ratrices, libres, bases. e e