Arithmétique

Il y a trois grands types d’objet : Booléen Constantes : vrai, faux Opérations : et logique, ou logique, non logique Numérique : entier ou réel Constantes : ensemble des entiers relatifs ou ensemble des réels opérations : toutes les opérations arithmétiques et trigonométriques, notamment l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, la puissance, la division entière, la partie entière d’un réel. Caractère : c’est soit une lettre de l’alphabet latin, soit un code opération (‘+’, ‘-‘

nul n, il existe un nombre premier p tel que n < p < 2n (dans un premier temps, on ne sût pas si cette affirmation etait vraie ou fausse et le problème resta ouvert pendant 5 ans jusqu’à ce que Tchebychev en démontre la véracité en 1850). ✦ En arithmétique toujours, une conjecture très célèbre est la suivante : pour un réel x ≥ 2, on note π(x) le nombre de x 1 dt (Li(x) nombres premiers inférieurs ou égaux à x (par exemple, π(3, 2) = 2 et π(10) = 4) et Li(x) le nombre ln t 2 s’appelle le

plan formé par 2 vecteurs racistes ? Le Ku Klux Plan ! Que dit un petit mathématicien à sa maman lors qu'il a envie d'utiliser les toilettes ? "Maman, il faut que j'aille faire pi*pi". Logarithme ne-paie-rien (népérien) pour attendre. Arithmétique de l'amour : 1+1 = +infini 2-1 = D' Où va un angle quand il est malade ? - Chez le vecteur. Combien de fois peut-on soustraire 7 de 83? Et combien reste-t-il ? - Autant de fois que l'on veut, et il reste 76 à chaque fois. Dialogue entre

P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice 9 2 Exercice 2 Mines-Ponts MP Trouver les P ∈ R [X] tels que P (X ) = (X + 1)P (X). [ 02674 ] 2 Montrer les divisibilités suivantes et déterminer les quotients correspondant : a) X − 1 | X 3 − 2X 2 + 3X − 2

de portée des ordinateurs actuels . Cela permettrait aussi de faire des calculs classiques de manière beaucoup plus rapides. Or toutes les sécurités informatiques actuelles reposent aujourd'hui sur la difficulté de réaliser certaines opérations arithmétiques sur des nombres très grands (plusieurs centaines de chiffres).Un «ordinateur quantique» puissant pourrait donc faire sauter toute la cryptographie classique. Toutefois, ce monde orwellien n'est pas pour demain. Une entreprise canadienne D-Wave

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 Polynômes 8.1 L’anneau des polynômes . . . . . . . . . . 8.2 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . 8.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . 8.4 Polynômes irréductibles de R[X] et C[X] . 8.4.1 Polynômes à coefficients complexes 8.4.2 Polynômes à coefficients réels . . . 8.4.3 Autres polynômes . . . . . . . .

du téléphone et du pneumatique font des gratte-ciel : la révolution du sciècle. “Le gratte-ciel n’est pas une symphonie composée avec des lignes, des volumes, des surfaces et des ouvertures, des poussées et des tractions, mais une opération arithmétique, une multiplication “ Emilio Cecchi Ce mouvement est marqué par la construction rationnelle et utilitaire de bureaux, de grands magasins, d’usines, d’appartements et de gares. L’accent est mis sur la durabilité, avec l’utilisation de matériaux

de voiture Variable étudiée : X : la consommation en litres sur 100 km (urbain) Valeurs : x appartient à [5 , 6) ou [6 , 7) ou ... ou [22 , 23) •Les données continues et discrètes sont des quantités : -On peut effectuer sur elles des opérations arithmétiques -Elles sont ordonnées •Les données qualitatives ne sont pas des quantités -Mais sont parfois ordonnées -Données ordinales souvent traités comme discrètes -Les données nominales ne sont pas ordonnées. Discrétisation des variables 5 Pourquoi

représentées dans les variables (numériques, caractères…). Ce type implique des limitations concernant les valeurs qui peuvent être représentées. Il limite aussi les opérations réalisables avec les variables correspondantes. Ainsi, les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) possibles des variables numériques, n’ont aucun sens pour des variables de type caractères. Par contreles comparaisons seront possibles pour les deux types. 2.2. Déclaration des variables

représentées dans les variables (numériques, caractères…). Ce type implique des limitations concernant les valeurs qui peuvent être représentées. Il limite aussi les opérations réalisables avec les variables correspondantes. Ainsi, les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) possibles des variables numériques, n’ont aucun sens pour des variables de type caractères. Par contre les comparaisons seront possibles pour les deux types. 2.2. Déclaration des variables La première