Asymptote

x →+∞ lim ln x = +∞ Démonstration : Établissons, pour commencer, le deuxième résultat : Soit p un entier naturel. On a ln 2 = p ln 2. D'où lim ln 2 = lim p ln 2 = +∞. p→ +∞ p→ +∞ p p La représentation graphique de ln admet donc une asymptote verticale d'équation x = 0 mais n'admet pas d'asymptote horizontale. Soit x un nombre réel tel que x 2 . La fonction ln est strictement croissante, donc ln x g alors lim ƒ p p ln 2 . p Passons à la limite (théorème de compatibilité

vers -¥ alors X tend vers +¥. 1 nous avons : e eX 1 = 0 (puisque lim e X = +¥) lim e x = lim x ® -¥ X ® +¥ e X X ® +¥ Compte tenu de la relation e x = 1 -x = La courbe de la fonction exponentielle admet donc, en -¥, une asymptote horizontale d'équation y = 0. Ce qui achève la démonstration du théorème 1.1. Exercices : · Démontrer que, pour tout x Î  : 1 + x  ex · Démontrer que, pour tout x Î +, on a : 1+x+ x2  ex 2 · Déterminer l'approximation affine

donnera le tableau complet de variation 3 3) Justifier que f  =0 . 2 En déduire un encadrement de f  . Partie C 1) Montrer qu'il existe 4 réels a, b, c et d tels que pour tout réel x, c x d f x =a xb 2 x 1 2) En déduire que (C) admet une asymptote oblique, notée (D), dont on donnera une équation. 3) Etudier la position relative de la courbe (C) et de la droite (D). 4) Compléter le graphique avec les éléments mis en évidence dans l'étude. Exercice 2 (5 points) 1 d x =  x1  − x −3 2 a)

lim  f    ;  C f  admet une asymptote verticale d’équation x  2  2 2c) ● T  : y  f  1   x  1  f 1 or f 1  1 et f  1  0 2 1b) ● x  D f , f  x   x  Ccl : T  : y  1 x 1  x  2 ; 2 3a) ● La tangente à  C f  en A d’abscisse a est parallèle à  D  ssi f   a   1 d’après le calcul de limite de la question 2a) : lim  f  x   x   lim  f  x   x   0 x ssi 1  9 x Ccl :  C f  est asymptote à la droite  D  d’équation y  x en

1. Déterminer les réels , , tels que pour tout réel : 2. Calculer et déterminer les limites de quand tend vers , , 1 à gauche et à droite. 3. Tracer le tableau de variation de la fonction . 4. Montrer que la courbe admet une asymptote oblique dont on donnera l'équation. 5. Tracer et sur une même figure. 1. f est une fonction définie sur par . Calcule la dérivée de f puis répond à la question suivante : f est-elle croissante ou décroissante sur son ensemble de définition

pour x>4 : f(x)−x= )+x) ) soit : f(x)−x= )+1) ) or )+1)=2 donc : (f(x)−x)=-2 c) D'après ce qui précède, on a (f(x)−x+2)=0, c'est-à-dire : (f(x)−(x−2))=0 Donc la droite d'équation y=x−2 est asymptote à C lorsque x tend vers +õ. 7. On a vu que : f(x)=+õ. Par ailleurs : =−4x );x) ) donc : =) );x) ) donc : = );x) ) donc : = );x) ) car , lorsque x est négatif, |x|=-x. donc : =- )=-1. Ce résultat nous

1 -- = 0 et lim x x → +∞ 1 ---- = 0 . x2 • mêmes résultats si x → – ∞ . 3 2 a) En écrivant f ( x ) sous la forme f ( x ) = – 1 + -- – ---- , déterminer la limite de f en – ∞ et en + ∞ . x x2 admet la droite ∆ d’équation y = – 1 comme asymptote horizontale. 2 coupe l’asymptote ∆ en un point K dont les coordonnées sont  -- ; – 1 . 3  coupe l’axe des abscisses en deux points A et B dont on calculera les coordonnées ( x A < x B ) . par rapport à l’axe des abscisses. En déduire que la

s'exerce à la fin de la phase de reconstitution. * de P0 à Pf : une partie rectiligne correspondant à un comportement pseudo-élastique du sol. Pf est la pression de fluage; * de Pf à Pl : une partie fortement croissante présentant une asymptote verticale d'abscisse Pl représentant la pression limite. Théoriquement l'essai n'est valable que si la pression limitee est atteinte en dix paliers égaux, ce qui en suppose la prédétermination. Dans la pratique on admet un nombre de paliers dee 7

| 1. Une approche concrète de la fonction exponentielle. 2. Étudier le sens de variation de la fonction f : x e2x - 2ex + 1. Préciser l'unique valeur de x pour laquelle f(x) = 1. On montrera que la courbe (c) représentative de f admet une asymptote horizontale (d) d'équation y = 1 au voisinage de -. Calculer l'aire A du domaine plan compris entre (c) et la droite (d) sur l'intervalle [- , ln2]. La courbe (c) est représentée ci-dessous. Rép : A = 2 unités d'aire | L'aire A est coloriée en

donc : 1 − 0,9544 = ૙, ૙૝૞૟. Exercice 2 : A. Etude d'une fonction 1°) On a lim e −0,125t = 0 donc lim 1 + 4,9e −0,125t = 1 + 4, 9 × 0 = 1 . t →+∞ t →+∞ On en déduit que lim f ( t ) = 1 . t →+∞ On en déduit que la courbe C admet une asymptote horizontale D en +∞, d'équation ࢟ = ૚. 2°) 0 5 10 15 20 25 ‫ݐ‬ 0,17 0,28 0,42 0,57 0,71 0,82 ݂ሺ‫ݐ‬ሻ 3°) a) ݂ሺ‫ݐ‬ሻ = ଵ ଵାସ,ଽ௘ షబ,భమఱ೟ = 30 0,90 ௨ ௩ avec ‫ݑ ; 1 = ݑ‬ᇱ = 0 ; ‫ି ݁9,4 + 1 = ݒ‬଴,ଵଶହ௧ ; ‫ ݒ‬ᇱ = 0 +