Asymptote

: Étude du cas k = 1 6 points A. P. M. E. P. Baccalauréat S f 1 (x) = xe−x . 1. Comme lim e−x = +∞, on a lim f 1 (x) = −∞. x→−∞ x→−∞ x ex f 1 (x) = x . On sait que lim = +∞ donc lim f 1 (x) = 0. x→+∞ x x→+∞ e Donc l’axe des abscisses est asymptote horizontale à C 1 en +∞. 2. f 1 produit de fonctions dérivables sur R est dérivable sur R : f 1′ (x) = e−x − xe−x = e−x (1 − x). Comme e−x > 0 sur R, le signe de f 1′ (x) est celui de 1 − x. Donc f 1′ (x) > 0 si x < 1 et f 1′ (x) < 0 si x > 1. D’où

La «fonction inverse» 1 Définition : la fonction inverse est la fonction x SQQT -- définie sur x Remarque : * 6 *. 4 = \ { 0 } = ]− ∞, 0 [ ∪ ]0, +∞ [ désigne l’ensemble de f -6 -4 -2 2 1 tous les nombres sauf zéro. Retenir : ---------- existe lorsque [ … ] ≠ 0 . […] 1 x0 0 M x 2 4 6 Propriétés : • Tableau de valeurs 2 5 10 1 x -2 vx = 1.4 x −10 −5 −2 −1 −0,5−0,1 −0,01 0 0,01 0,1 0,5 1 1⁄x • =0.71 -4 -6 La courbe de x SQQT

Seconde FONCTIONS DE REFERENCE. Ch 07 I) Fonction carré : 1) Définition et propriétés : Définition 1 : La fonction carré est définie sur » par : carré. 2 f ( x ) = x 2 ; à tout nombre réel x, elle associe son ex : f ( −3) = ( −3 ) = 9 = 3 2 = f ( 3) . En fait, quelque soit x dans » , on a : f ( − x ) = ( − x ) = x 2 = f ( x ) ; donc : 2 Propriété 1 : La fonction carré est paire : pour tout x réel, on a : f ( − x ) = f ( x ) . Dans un repère orthogonal, sa courbe représentative

Synthèse de Math 6h (Analyse) 1 Valeurs absolues Rappel : ∣x∣= x si x0 ∣x∣=−x  si x 0 A) Équations a) Si une valeur absolue avec l'inconnue uniquement dans la valeur absolue ◦ Isoler la valeur absolue ◦ La retirer Exemple : ∣x3∣=5⇔ x3=±5 ⇔ x=−8 ou x=2 b) Si plusieurs valeurs absolues ou si présence d'une inconnue à l'intérieur et à l'extérieur ◦ Tout mettre dans le même membre ◦ Exprimer ce membre comme une fonction par morceaux ◦ Chercher les racines (par morceaux) et vérifier

UNIVERSITE DE VERSAILLES-SAINT-QUENTIN-EN-YVELINES I.U.T. de VELIZY RESEAUX ET TELECOMUNICATIONS Cours, TD, TP électronique module E4 ANNEXE : Fonctions de transfert du second ordre Emmanuelle Peuch Tables des matières : fonctions de transfert du second ordre TABLE DES MATIERES Régime permanent sinusoïdal : fonctions de transfert du 2ème ordre Filtre passe-bas : étude du module _____________________________ 1 I.1 Calcul du module de H pour ω = ωo _________________________________

Fonction inverse Fonctions homographiques I Activité Tracer des rectangles OMNNP tes que et l’aire du rectangle soit égale à 10cm². II Etude de la fonction inverse Définition: la fonction inverse et la fonction , qui à tout réel non nul associe le réel Son domaine de définition est donc: . . 1) Sens de variation La fonction inverse est: - Décroissante sur - Décroissante sur . . Preuve: Tout d'abord on va montrer que Soient u et v est croissante sur , avec u<v. On cherche à montrer que

4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. Statistiques exhaustives∗ 83 Propri ́et ́es des statistiques X ̄ et s2 87 Covariance et corr ́elation empiriques 89 Construction d’un ́echantillon pseudo-al ́eatoire par simulation∗ 90 Exercices 93 Chapitre 5. Estimation des param`etres 97 5.1. Mod`ele statistique. Probl`eme d’estimation des param`etres 97 5.2. Comparaison d’estimateurs 100 5.3. M ́ethode des moments 105 5.4. M ́ethode du maximum de vraisemblance 107 5.5. Comportement asymptotique de la fonction de

Fonctions Carr´ e et Inverse I. Rappels Propri´ et´ es du carr´ e d’un nombre r´ eel : ­ Le carr´e d’un nombre r´eel est positif ou nul, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, x2 0. ­ Deux nombres r´eels oppos´es ont mˆeme carr´e, c’est-` a-dire : quel que soit le nombre r´eel x, (-x)2 = . x2 . Produits remarquables : Quels que soient les nombres r´eels a et b, ­ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ­ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ­ (a - b)(a + b) = a2 - b2 II. Fonction carr´e D´ efinition : La fonction

lim x→ π 2 cos x x− π 2 Exercice n°18. Déterminer tan x x →0 x lim lim x →1 x −1 x −1 2cos 2 x − 1 6x − π x→ 6 lim π Exercice n°19. Retrouver les limites de f(x) à partir du graphique connaissant les asymptotes Exercice n°20. Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois fonctions et la représentation graphique C de l’une d’entre elles. Retrouver celle qui est représentée, en justifiant (qu'est-ce qui permet d'éliminer les 2 autres ?) 1 1 1 f1

y I′(0 ) = − y I (∞ ) = 0 y I′(∞ ) = 0 Asymptote : y (t ) = 0 K T2 T t REPONSE INDICIELLE : YE = H × X E = K 1 × 1+ T s s En décomposant YE en éléments simples on obtient :   1 T  1  1  YE = K  − =K − s s + 1   s 1+ T s    T  La réponse temporelle est donnée par la transformée inverse de YE : t −  T y E (t ) = K  1 − e     u (t )   y E (0 ) = 0 K ′ y E (0 ) = T y E (∞ ) = K ′ y E (∞ ) = 0 Asymptote : y (t ) = K t yE(t) K T t 2